Клеточные пространства (стр. 8 из 8)
Теорема. Всякое п-связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2,..., n.
Доказательство. Выберем в нашем пространстве X вершину е0 и соединим с ней остальные вершины путями. Это можно сделать, так как пространство n-связно и, в частности, линейно связно. (Пути могут пересекаться) Используя теорему о клеточной аппроксимации, мы можем добиться того, чтобы эти пути лежали в одномерном остове пространства X. Пусть si - путь, соединяющий вершину е0 с вершиной еi. Приклеим при каждом i к X двумерный диск по отображению нижней полуокружности в X при помощи пути si (рис.10).
Рис.10
Получим новое клеточное пространство X, которое будет содержать X и, кроме того, клетки е
, е 
(верхние полуокружности и внутренности приклеенных писков). То, что границы клеток е лежат в одномерном остове, вытекает из того, что этим свойством обладают пути si. Ясно, что X есть деформационный ретракт в 
: каждый Фприклеенный диск можно смять на нижнюю полуокружность.Обозначим через Y объединение замыканий клеток еi1. Очевидно, Y стягиваемо; следовательно,
/Y ~ ~ X. Но у /Y всего одна вершина.Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично. Предположим, что X ~ X’, причем X' имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,..., k - 1, где k≤n. В этом случае замыкание каждой k-мерной клетки представ ляет собой k-мерную сферу. Ввиду n-связности X (и, следовательно, X’) включение этой сферы в X' продолжается до непрерывного отображения (k + 1) - мерного шара, образ которого, ввиду теоремы о клеточной аппроксимации, можно считать лежащим в (k + 1) - м остове пространства X'. По этому отображению (которое мы считаем отображением нижней полусферы (k + 1) - мерной сферы) мы приклеиваем к X'. шар Dk+2, и подобным образом мы поступаем для каждой k-мерной клетки пространства X’. Полученное клеточное пространство
’ гомотопически эквивалентно X’ и содержит стягиваемое подпространство Y - объединение замыканий всех вновь приклеенных (k + 1) - мерных клеток (верхних полусфер приклеенных шаров), содержащее все k-мерные клетки. Имеем: ’ /Y ~ ’ ~ X’ ~ X, ’ /Y имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,...,k.Следствие. Если клеточное пространство X п-связно, а клеточное пространство Yn-мерно, то множество
(Y, X) состоит из одного элемента. Это же верно для b (Y, X), если X и Y имеют отмеченные точки, являющиеся вершинами.Замечание. Использованная в доказательстве последней теоремы процедура уничтожения k-мерных клеток предполагает присоединение клеток размерности k + 2. В случае, если заданное n-связное пространство было (n + 1) - мерно, это могло привести к увеличению размерности. В действительности можно доказать, что всякое n-связное клеточное пространство размерности n + 1 гомотопически эквивалентно букету (n + 1) - мерных сфер.
Последняя теорема имеет относительный вариант, для формулировки которого необходимо понятие n-связной пары. Топологическая пара (X, А) называется n-связной, если всякое отображение (Dn, Sn-1)
(X, А) гомотопно (как отображение пар) отображению, загоняющему все Dnв А.Заключение
В данной курсовой работе был собран и обобщен материал, касающийся вопросов, связанных с важнейшей комбинаторной структурой топологии - клеточной структурой.
Цель курсовой работы - изучение основных понятий клеточной структуры топологии, выяснение ее значимости - была достигнута.
Для достижения цели была проработана литература, рассмотрены определение клеточного пространства, клеточные разбиения классических пространств, а также некоторые теоремы о клеточных пространствах.
Результаты проделанной работы могут быть использованы студентами физико-математических факультетов при изучении разделов топологии, а также для анализа и систематизации курсов математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и других дисциплин.
Список использованных источников
1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1983. - 160 с.
2. Борисович, Ю.Г. Введение в топологию: Учеб. пособие для вузов / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т. Н Фоменко - М.: Высш. школа, 1980. - 295 с.
3. Гарднер, М. Математические досуги / М. Гарднер − М.: Мир, 1972. − 496 с.
4. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. - М. - Л.: ГОНТИ, 1938. - 400 с.
5. Куратовский, К. Топология: В 2 т. / К. Куратовский − М.: Мир, 1966, т. I, − 594 с; 1969, т.П. − 624 с.
6. Рохлин, В.В., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы / В.В. Рохлин, Д.Б. Фукс − М.: Наука, 1977. − 488 с.
7. Спеньер, Э. Алгебраическая топология / Э. Спеньер; перевод с англ. Б.М. Пранова; под ред.А.М. Виноградова - М.: Мир, 1971 - 680с.
8. Стинрод, Н. Чинн У. Первые понятия топологии / Н. Стинрод, У. Чинн − М.: Мир, 1967. − 224 с.
9. Фоменко, А.Т., Фукс, Д.Б. Курс гомотопической топологии: учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. Физ. - мат. Лит., 1989. - 528 с.