Смекни!
smekni.com

Клеточные пространства (стр. 1 из 8)

Содержание

Введение

1. Основные определения

1.1Терминологические замечания

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

2.2 Проективные пространства

2.3 Многообразия Грассмана

2.4 Многообразия флагов

2.5 Классические поверхности

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

3.2 Следствия из теоремы Борсука

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Заключение

Список использованных источников

Введение

В системе высшего образования весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип - структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа - комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.

Одна из важнейших из комбинаторных структур - клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.

Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.

1. Основные определения

Клеточное пространство - это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения

попарно непересекающихся множеств
("клеток") таким образом, что для каждой клетки
существует отображение q-мерного шара
в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке
), сужение которого на внутренность Int
шара
представляет собой гомеоморфизм Int
. При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.

(С) Граница

=
клетки
содержится в объединении конечного числа клеток
с r < q.

(W) Множество F

К замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки
замкнуто пересечение F
.

(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться)

1.1Терминологические замечания

1. Термин "клеточное пространство" не является абсолютно общепринятым: говорят также "клеточное разбиение" или "клеточный комплекс" или "CW-комплекс". Выражение "клеточное разбиение" мы будем употреблять как синоним выражения "разбиение пространства на клетки"; термин же "комплекс" будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении.

2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closurefinite" и "weaktopology".

Клеточное подпространство клеточного пространства K - это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпространства клеточного пространства - его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности

n (по определению, размерность клетки
равна q). Стандартные обозначения для n-го остова пространства
или
X. Кстати, некоторые говорят "n-мерный остов", но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна n. Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.

Заметим, что для конечных клеточных пространств аксиомы (С) и (W) проверять не нужно: они выполняются автоматически.

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета

на клетки
,
и (
) -
делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности
, то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).

Рис.1


2. Из (W) не следует (С). Разбиение диска D2 на внутренность IntD2 и отдельные точки граничной окружности

удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда F
IntD2 = F), но не удовлетворяет аксиоме (С).

3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство

│α=1,2,…
копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками
,
равно
, если
, и равно
, если
. Разбиение построенного пространства на множества
и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки
составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.

Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется "клеточным ослаблением топологии".

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

При конечном n имеется два канонических клеточных разбиения сферы

. Первое состоит из двух клеток: точки
(любой, скажем, (1,0,... ..., 0)) и множества
(рис.2а). Характеристическое отображение
, отвечающее второй клетке, - это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле
, где
(рис.3).