Комплексні числа (стр. 3 из 3)

3 = 3(cos 0 + ί sin 0).

Розглянемо приклади переходи від тригонометричної форми комплексного числа до алгебраїчної.

Приклади:

а) 2(cos π\3+ ί sin π\3) = 2(1\2+Ö3ί \2) = 1 +Ö3ί;

б) 4(cos 2π\3 + ί sin 2π\3) = 4(-1\2+Ö3ί \2) = -2 + 2Ö3ί.

г) Множення і ділення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел виявляється дуже зручною під час множення і ділення чисел. Нехай Z₁=r₁(cos α₁ + ί sin α₁), Z₂=r₂(cos α₂ + ί sin α₂) – два числа, що записані в тригонометричній формі. Тоді

Z₁ Z₂= r₁r₂( cos α₁ cos α₂ - sin α₁ sin α₂ + ί sin α₁cos α₂ + ί sin α₂ cos α₁), або Z₁ Z₂= r₁r₂( cos (α₁ + α₂) + ί sin (α₁ + α₂)).

Отже, справедливим є твердження: під час множення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх перемножуються, а аргументи додаються. Для знаходження частки множимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:

Z₁\Z₂=r₁(cos α₁ + ί sin α₁)(cos α₂ - ί sin α₂)\ r₂(cos α₂ + ί sin α₂)(cos α₂ - ί sin α₂) = r₁\r₂х(cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\( cos² α₂ + ί sin ²α₂)= r₁( cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\r₂.

Отже, під час ділення комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаюьтся.

Приклади. Виконати множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.

а) Z₁=3(cos 7° + ί sin 7°); Z₂=8(cos 15° + ί sin 15°);

д) Подаємо без доведення правила піднесення до степеня комплексного числа, записаного в тригонометричній формі.

При будь – якому натуральному n

(cos α + ί sin α)ⁿ = cos nα + ί sin nα.

Це твердження називається формулою Муавра.

Приклади. Виконати дії піднесення до ступеня даного комплексного числа.

Z=Ö3-ί. Обчислити Z.

Модуль даного числа дорівнює Ö(Ö3)²+1 = 2, аргумент α = -π\6, отже модуль числа Z дорівнює 2, аргумент 9α = -9π\6 = -3π\2. Таким чином,

(Ö3-ί) = 2 (cos (-3π\2)+ ί sin(-3π\2)) = 512ί.

є) добування кореня з комплексного числа.

Корінь n – го ступеня з числа Z=r(cos α + ί sin α) обчислюють за формулою

ω = Ör(cos ((α + 2 πк)\n) + ί sin ((α + 2 πк)\n)),

де к – деяке ціле число (к є Z).

Підставляючи замість к значення 0, 1, 2…n – 1, дістанемо n різних значень кореня. Так, якщо n = 2, к = 2 матимемо sin ((α + 4 π) = sin α\2 і так далі.

Приклади. Знайти всі значення Ö1

Оскільки 1 = 1(cos 0 + ί sin 0), то

Ö1(cos 0 + ί sin 0) = 1(cos ((0 + 2 πк)\5) + ί sin ((0 + 2 πк)\5), к = 0, 1, 2, 3, 4. Надаючи к послідовно значень 0, 1, 2, 3, 4, выдповыдно дыстанемо:

Z₁= 1, якщо к = 0;

Z₂= cos 2π\5 + ί sin 2π\5, якщо к = 1;

Z₃= cos 4π\5 + ί sin 4π\5, якщо к = 2;

Z₄= cos 6π\5 + ί sin 6π\5, якщо к = 3;

Z₅= cos 8π\5 + ί sin 8π\5, якщо к = 4.

Цікавий такий факт. Модулі всіх цих значень Ö1 дорівнюють 1. Отже, точки Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ лежать на колі радіуса 1 з центром у початку координат. Побудувавши аргументи значень Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ , помітимо, що точки, які зображують числа Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅, є вершинами правильного п’ятикутника (малюнок 7).

Взагалі точки, які відповідають значенням кореня n – го ступеня з комплексного числа Z=r(cos α + ί sin α), розміщуються у вершинах правильного n – кутника з центром у точці О.

Малюнок 7

Література

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.

2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979.

3. Математический практикум. М.: 1960.