Комплексные числа: их прошлое и настоящее (стр. 3 из 3)

Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy²-qy+(αp+α²+p²/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q²-8α(αp+α²+p²/4-r)=0, или 8α³+8pα²+8α(p²/4-r)-q²=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

V.Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

1. Вычислить: ii²i³…i¹⁰=?

Решение: ii²i³…i¹⁰=i^1+2+…+10=i^11∙10/2=i⁵⁵=ii⁵⁴=i(i²)²⁷=i(-1)²⁷=-i.

2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z₁-z₂|, г) Arg(z₁/z₂)?

Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;

б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;

в) |z₁-z₂|- расстояние между точками z₁ и z₂, изображающими комплексные числа z₁ и z₂;

г) Arg(z₁/z₂) – угол между изображающими векторами 0z₁ и 0z₂.

3. Доказать, что cos3φ=cos³φ-3sin²φcosφ; sin3φ=3cos²φsinφ-sin³φ.

Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)³=(cos³φ-3cosφsin²φ)+(3cos²φsinφ-sin³φ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos³φ-3sin²φcosφ, sin3φ=3cos²φsinφ- sin³φ.

4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i

3x-5y=4

x+2y=16 x=8; y=4.

Ответ: z=8+4i.

5. Доказать тождество |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+( z₁-z₂)( z₁-z₂)= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+ +( z₁-z₂)( z₁-z₂)=2 z₁z₁+2 z₂z₂=2(|z₁|²+|z₂|²).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

6. Найти геометрическое место точек:

а) |z-z₀|=R; б) z=z₀+Re^it (0≤t<2π)

Ответ: Окружность радиуса R с центром в z₀.

в) |z-3i|=|z+2|;

г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;

д) |z|≤R

π/4≤argz≤5π/4

Решение:

в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z₁=-2, как и от точки z₂=3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (х_с;у_с), где х_с=(-2+0)/2=-1; у_с=(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)²+(2x-z)²=2Re(z²).

Доказательство:

1) (2x-z)²+(2x-z)²= 4x²-4xz+z²+4x²-4xz+z²=8x²-4x(z+z)+z²+z²=8x²-4x2x+(z+z)²-

-2zz=(2x)²-2|z|²=4x²-2(x²+y²)=2(x²+y²)=2Re(z²).

2) 2Re(z²)=2Re(x+iy)²=2Re(x²-y²+2ixy)=2(x²-y²).

8. Решить систему уравнений

(3-i)z₁-(4+2i)z₂=1+3i;

(4+2i)z₁+(2+3i)z₂=7.

Решение: Применим правило Крамера:

∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)² =21+23i

(4+2i)+(2+3i)

∆_z1= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i

7 (2+3i)

∆_z2= (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i

(4+2i) 7

Z₁= 21+23i =1; z₂= 23-21i =-i(21+23i) =-i

21+23i 21+23i 21+23i

Ответ: z₁=1; z₂=-i.

9. Доказать, что (а²+1)(b²+1)(c²+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, чтоа²+1=|a+i|², тогдаимеем: (а²+1)(b²+1)(c²+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))²+(ab+bc+ca-1)².

10. Найтисуммы:

С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.

Решение: найдем сумму σ=с+iS=(e^iφ+e^2iφ+…+e^inφ) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: e^iφ+e^2iφ+…+e^inφ= e^iφ((1- e^inφ)/(1- e^iφ))= (e^iφ(1- e^inφ) (1- e^-iφ))/( (1- e^iφ) (1- e^-iφ))= =(e^iφ-1- e^iφ(n+1)+ e^inφ)/|1- e^iφ|².

Поскольку |1- e^iφ|²=|(1-cosφ)-isinφ|²=(1-cosφ)²+sin²φ=4sin²(φ/2);

Re(e^iφ-1- e^iφ(n+1)+ e^inφ)= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin²(φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и Im(e^iφ-1- e^iφ(n+1)+ e^inφ)=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), тоС=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin²(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);

S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin²(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2)

11. Найтисумму 1+e^πcosπ+e^2πcos2π+…+e^nπcosnπ.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+e^xcosx+e^2xcos2x+…+e^nxcosnx и найдем ее значение при х=π.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

σ(z)=1+e^x+ix+e^2x+i2x+…+e^nx+inx= 1+e^x(1+i)+e^2x(1+i)+…+e^nx(1+i)=(1-( e^x(1+i))ⁿ⁺¹)/(1- e^x(1+i))= =1-e^x(n+1)(1+i)/(1-e^x(1+i))=((1-e^x(n+1)(1+i))(1-e^x(1-i))/((1-e^x(1+i))(1-e^x(1-i))) =(1- e^x(n+1)(1+i)- e^x(1-i)+e^x(n+2+ni))/|1- e^x(1+i)|²=

=(1-e^(n+1)xe^i(n+1)x-e^xe^-ix+e^(n+2)xe^xni)/(1-2e^xcosx+e^2x)

т.к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:

S(x)=1+e^xcosx+e^2xcos2x+…+e^nxcosnx=(1-e^(n+1)xcos(n+1)x+e^(n+2)xcosnx-e^xcosx)/(1-2e^xcosx+e^2x)

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S(π)=1+e^πcosπ+e^2πcos2π+…+e^nπcosnπ= (1+e^π+e^π(n+2)(-1)ⁿ-e⁽ⁿ⁺¹⁾(-1)ⁿ⁺¹)/(1+2e^π+e^2π)= =((1+e^π)+(-1)ⁿe^π(n+1)(e^π+1))/(e^π+1)²=(1+(-1)ⁿe^π(n+1))/(1+e^π)

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.

Доказательство:

Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|²=((|z|²-1)+2iy)/|z+1|²; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|²-1=0 |z|=1.

13. Найти все значения корня ⁴√1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

z=⁴√1+i√3=⁴√a, где a=1+i√3.

Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то z_k=⁴√2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z₀= ⁴√2(cosπ/12+isinπ/12); z₁=⁴√2(cos7π/12+isin7π/12);

Z₂=⁴√2(cos13π/12+isin13π/12); z₄=⁴√2(cos19π/12+isin19π/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)⁶-1/(√3-i)⁶ =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))⁶-((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))⁶= =(1-i√3)⁶/|1+i√3|¹²-(√3+i)⁶/|√3+i|¹²=z₁-z₂=(т.к. |z₁|=|z₂|=2; φ₁=-π/3; φ₂=π/6, то)=1/2⁶∙2⁶(cos(-π/3)+isin(-π/3))⁶-1/2⁶∙2⁶(cosπ/6+isinπ/6))⁶= =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.

VII. Литература.

VIII.

1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.

4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.

5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.