Комплексные числа, их прошлое и настоящее.
Содержание.
I. Введение.
II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.
III. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
3. Операция сопряжения и ее свойства.
4. Извлечение корней.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
1. Формула Кердано.
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
VI. Заключение.
VII. Литература.
I. Введение.
Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.
Именно, если дано:
(α) Линейное уравнение ax+b=0, где а≠0, то x=-b/a – единственный корень;
(β) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c – действительные числа, a≠0, то x=-b±√b∙b-4ac/2a; при этом число корней зависит от величины D = b2 – 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:
При D>0 – два действительных корня, D=0 – один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.
Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.
Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием – понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.
II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.
Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х2+1=0, а также выражение более общего вида (а+b∙√-1) для записи решения уравнения (х-а)2+b2=0. Впоследствии выражения вида (а+b∙√-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.
МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а √-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).
Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a0∙xn+a1∙xn-1+…+an-1∙x+an=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n (n≥1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число совпадающих с ним корней). При n≥5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.
После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП).
III/ Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2); (1)
(x1,y1)∙(x2,y2)=(x1∙x2 – yiy2, xiy2 + x2y1). (2)
Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).
Два комплексных числа z1=(x1,y1) и z2=(x2,y2) называются равными только в том случае, когда x1=x2 и y1=y2. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)
Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i2=-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).
Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:
а) z1+z2=z2+z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)
б) z1z2=z2z1
в) z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 (сочетательный закон или ассоциативность)
г) z1(z2z3)=(z1z2)z3
д) (z1+z2)z3=z1z3+z2z3 (распределительный закон или дистрибутивность)
Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1-z2 и частное z1/z2 как решения соответствующих уравнений z+z2=z1 и zz2=z1 (при z2≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам:
z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2), (4)
z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22) + i((y1x2-x1y2)/(x22+y22)) (5)
Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1+(-z2), где число (-z2) называется противоположным z2; деление – как действие, обратное умножению: z=z1(z2-1), где z2-1 – число, обратное для z2 (z2≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:
- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2=-1.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).
Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.