Композиции преобразований (стр. 2 из 6)

Угол wвинтового движения можно вычислить через углы a и bданных поворотов и угол g=

. По теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной B, ребрами которого являются лучи h,u^¢,v, справедливо следующее равенство:

cos

= - cos cos - sin sin cosg(доказательство данной формулы можно найти в [4], с. 26).

Рассмотрим случай, когда оси aи b пересекаются (в точке B). Тогда прямые u и vтакже будут пересекаться в точке B, и u^¢совпадет с прямой u. Искомая композиция R_b^b◦R_a^aесть поворот R_l^w, причем угол этого поворота подсчитывается по указанной выше формуле. При a║b и a+b¹2pпрямые u и vпересекаются в точке O. И рассматриваемая композиция R_b^b◦R_a^aесть поворот R_l^a+b, ось l которого проходит через точку Oпараллельно прямым a и b.

При a║b и a+b=2pбудет u║v. В этом случае композиция поворотов является переносом.

Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.

Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является зеркальной симметрией, S_g◦S_b◦S_a=S_w . Это равенство эквивалентно равенству S_b◦S_a=S_g◦S_w. Если плоскости aи b имеют общую прямую l, то S_b◦S_a=R_l^jи поэтому S_g◦S_w=R_l^j. Следовательно, все четыре плоскости имеют общую прямую l. Если же плоскости aи bпараллельны, то S_b◦S_a=

и S_g◦S_w= . Следовательно, все четыре плоскости параллельны.

Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.

Пусть плоскости a, b, g имеют единственную общую точку O. В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f=S_g◦S_b◦S_a есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: bÇg=a, gÇa=b, aÇb=c (рис. 3).

Пусть f(c)=c₁, тогда прямые cиc₁ симметричны относительно плоскости g, и S_a(a)=a₀, тогда f(a₀)=a. Поскольку плоскость w поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции mи nпрямыхa и cсоответственно на плоскости aи g. Итак, w есть плоскость, проходящая через прямые mи n. Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости wв точке O, угол поворота jравен углу между ортогональными проекциямиa₀иa(илиc иc₁) на плоскость w.

	O
c	a
c1
a0	m
w	b	n

Рис. 3

Если плоскости a, b, g попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Z_o.

Рассмотрим случай, когда плоскости a, b, g исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным прямым, т.е. a║b║c. Тогда в каждой плоскости, перпендикулярной этим прямым, композиция f=S_g◦S_b◦S_a индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями a, b, g. А она является переносной симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором

. Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрия пространства с вектором и плоскостью, проходящей через прямую lпараллельно прямым a,b, c.

1.2. Композиции центральных симметрий пространства

Задача 4.Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.

Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B. Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции Z_B◦Z_A:

(Z_B◦Z_A)(M)=P (рис. 4).

M

A P B N

Рис. 4

Для треугольника MNP имеет место равенство:

=2. Точки Aи B заданы, следовательно, вектор - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий Z_B◦Z_Aесть параллельный перенос на вектор 2: