Композиции преобразований (стр. 3 из 6)

Z_B◦Z_A=

. (1)

б) Найдем композицию центральной симметрии Z_O и переноса

в пространстве. Представим перенос как композицию двух центральных симметрий: =Z_B◦Z_O, где = . Следовательно, ◦Z_O=(Z_B◦Z_O)◦Z_O. Это равенство эквивалентно равенству:

◦Z_O=Z_B . (2)

Таким образом, композиция центральной симметрии Z_Oи переноса

есть центральная симметрия Z_O , центр которой определяется условием = .

в) Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f=Z_C◦Z_B◦Z_A. Композицию Z_C◦Z_Bпредставим в виде переноса в соответствии с выводом (1): Z_C◦Z_B=

. Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f= ◦Z_A. Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия Z_O, центр О которой определяется условием = . Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:

1) композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;

2) композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Задача 5.Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD.

Решение. Требуется найти композицию f=Z_D◦Z_C◦Z_B◦Z_A (рис. 5).

C

B D A

Рис. 5

Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:

f=(Z_D◦Z_C)◦(Z_B◦Z_A)=

◦. Векторы и являются противоположными, поскольку ABCDесть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E.

Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.

Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.

Решение. Требуется найти композицию f=Z_E◦Z_C◦Z_B◦Z_A(рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCDточку D такую, что четырехугольник BCEDявляется параллелограммом.

	A	B
C
D
E