Найдем образ точки пересечения построенной прямой nи прямой XX2 при гомотетии HOk: HOk(S)=S1. Тогда
=
, поэтому точка
S при заданной композиции неподвижна, кроме того, не зависит от выбора точки
X. С учетом того, что
=
k 
,
=
k 
(т.к. треугольники
SOXи
X1XX2подобны), искомая композиция является гомотетией
HSk.
Таким образом,
◦
HOk=HSk. (4)
Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.
Решение. Рассмотрим образ произвольной точки Xпосле применения композиции гомотетий f=HBm◦HAk. Пусть HAk(X)=X1, т.е. по определению гомотетии
=
k 
,
HBm(X1)=X2, т.е.
=m 
(рис.14). Найдем образ точки
Aпосле применения гомотетии
HBm:
HBm(A)=A1, т.е.
=
m 
. Таким образом, отрезок
A1X2– это образ отрезка
AX после применения данной композиции, при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобия треугольников
ABX1и
A1BX2). Если прямые
AA1и
XX2пересекаются (обозначим точку их пересечения
C), тогда, рассматривая подобные треугольники
ACXи
A1CX2 , выразим вектор
:
=
=
, при этом
=
m 
=
km .
X2 | | A1 |
| C |
| B |
| A |
| X |
| X1 |
Рис. 14
Следовательно,
=km 
. Точка Cне зависит от выбора точки X, значит композиция f является гомотетией с центром в C:HBm◦HAk=HCkm. (5)
Если прямые AA1иXX2не пересекаются, т.е.
= , то km=1, следовательно, композиция fесть перенос пространства:HBm◦HAk=
. (6)Все эти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.
Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.
Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде композиции поворота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то, учитывая ассоциативность этого представления, будем находить требующуюся композицию в следующем виде: f=HBm◦Rhb◦Rla◦HAk.
Рассмотрим несколько случаев.
1)Если оси поворотов hиlпараллельны, и при этом сумма углов не равна 2p, то композиция поворотов является поворотом Rna+b, где ось n параллельна исходным осям h, l. Тогда f=HBm◦Rna+b◦HAk, при этом композиция Rna+b◦HAk является по определению подобием, а значит, эта композиция может быть представлена в виде HDk◦Rpa+b. И равенство f=HBm◦Rna+b◦HAk эквивалентно равенству f=HBm◦HDk◦Rpa+b. По формуле (5) HBm◦HDk=HCkm(при km¹1), значит f=HCkm◦Rpa+b, а это по определению подобие. При km=1 по формуле (6)HBm◦HDk=
, и f= ◦Rpa+b, а это, в общем случае, винтовое движение. 2)Если же при параллельных осях данных поворотовhиl сумма углов равна 2p, то композиция поворотов Rhb◦Rlaявляется переносом пространства
, и в этом случае f=HBm◦ ◦HAk. Композиция ◦HAkсогласно выводу (4)есть гомотетия с центром в некоторой точке Cс коэффициентом k: ◦HAk=HСk. Следовательно, f=HBm◦HСk, а это гомотетия пространства (согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6) ).3)Если прямые hиlпересекаются, то композиция поворотов Rhb◦Rlaявляется поворотом Rnw. И нахождение композиции fсводится к случаю 1.
4)Если оси hиl скрещиваются, то композиция поворотов Rhb◦Rlaявляется винтовым движением, следовательно, композиция Rhb◦Rla◦HAkявляется подобием пространства, которое можно представить композицией поворота и гомотетии: Rhb◦Rla◦HAk=Rnw◦HСn. Тогда нахождение fсводится к случаю 1.
Таким образом, композиция двух подобий пространства, произведение коэффициентов которых не равно 1, есть подобие пространства или гомотетия (в случае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2p), в тривиальном случае, когда произведение коэффициентов исходных подобий равно 1, эта композиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.
Аналогичная ситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований пространства, т.е. в общем случае композиция двух аффинных преобразований пространства также является аффинным преобразованием.
Литература
1. Гусев В. А., Тхамафокова С. Т. Преобразования пространства. Москва: «Просвещение», 1979.
2. Понарин Я. П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.
3. Понарин Я. П. Преобразования пространства. Киров: 2000.
4. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Москва: «Просвещение», 1990.