Композиции преобразований (стр. 1 из 6)

Оглавление

Предисловие...................................................................................... 3

Введение............................................................................................. 4

§1. Композиции движений пространства.......................................... 4

1.1. Основные композиции движений пространства........... 4

1.2. Композиции центральных симметрий пространства.... 9

1.3. Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства................................................ 11

1.4. Композиции осевых симметрий пространства.............. 12

1.5. Применение композиций движений

пространства к решению задач...................................... 16

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства .............................................................................. 18

Литература........................................................................................ 22

Предисловие

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

Введение

Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xÎX, конечно, yÎX и zÎX. Отображение j определим законом j(x)=g(f(x)). Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований fи g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j=g◦f.

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1°. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f,g,h данного множества имеет место равенство:

h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.

2°. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.

§1. Композиции движений пространства

1.1. Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1.Найти композицию поворота R_l^j и переноса

пространства при условии, что вектор и ось поворота lне параллельны.

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

R_l^j = S_b◦S_a, где a^l, b^l, Ð(a, b)=

(здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), aÇbÇl=Oи =S_v◦S_u, где u║v, u^ . Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда ◦R_l^j=S_v◦S_u◦S_b◦S_a=S_v◦S_a. Если вектор не ортогонален оси l, то прямые aи v скрещиваются, и угол между ними равен углу между aи b, т.е. равен . Композиция S_v◦S_aесть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых aи v, и вектором 2 , где P=aÇm,Q=vÇm,m║l. Итак,

◦R_l^j = ◦R_l^j , m║l.

Если

^l, прямые aи v пересекаются, поэтому = ,и искомая композиция является поворотом R_m^j. Если при этом j =p, то имеем, что ◦R_l^j = S_m, ^l, m║l.

m

l Q v P a O u b

Рис. 1

Задача 2.Найти композицию двух поворотов пространства R_b^b◦R_a^a.

Решение. Сначала найдём композицию R_b^b◦R_a^a двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр hпрямых a иb и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

R_a^a=S_h◦S_u , R_b^b=S_v◦S_h , u^a, u^b, uÇhÇa=A, vÇhÇb=B,

Ð(u, h)=

, Ð(h, v)= (рис. 2). Тогда

R_b^b◦R_a^a=S_v◦S_h◦S_h◦S_u=S_v◦S_u. Оси uиv скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые aи b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий S_v◦S_uесть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр lпрямыхuи v, угол w=2Ð(u, v), а вектор

=2, где P=uÇl, Q=vÇl.