Корни многочленов от одной переменной (стр. 2 из 6)
Рассмотрим многочлен f (x) =a и найдем, например, f (2). Для этого в многочлен вместо х надо подставить число 2 и произвести необходимые вычисления. Однако в нашем случае f (x) =aи переменной х в явном виде нет. Вспомним, что рассматриваемый многочлен можно записать в видеf (x) =0x+a. Теперь все в порядке, можно подставить значение х=2: f (2) =0
2+a=a. Заметим, что для данного многочлена f (c) =a при любом с. В частности, нулевой многочлен при любом с принимает значение, равное нулю.Вообще говоря, многочлен при различных значениях переменной х может принимать различные значения. Нас же довольно часто будут интересовать те значения х, при которых многочлен принимает значение 0. Число с называется корнем многочленаf (x), еслиf (c) =0.
Например, если f (x) =x2-3x+2, то числа 1 и 2 являются корнями этого многочлена, ибо f (1) =0 и f (2) =0. А вот многочлен f (x) =5 корней вообще не имеет. В самом деле, при любом значении х он принимает значение 5, а значит, никогда не принимает значение 0. Для нулевого же многочлена, как легко заметить, каждое число является корнем.
Поиск корней многочленов является одной из важнейших задач алгебры. Находить корни линейных двучленов и квадратных трехчленов учат еще в школе. Что касается многочленов более высоких степеней, то для них такая задача является весьма трудной и не всегда разрешимой. В дальнейшем мы неоднократно будем ею заниматься. А сейчас заметим только, что найти корни многочлена f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и решить уравнение anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0=0 - это эквивалентные задачи. Поэтому, научившись находить корни многочлена, мы научимся решать соответствующие уравнения, и наоборот.
Обратим внимание на различие между двумя утверждениями: "многочлен f (x) равен нулю (или, что то же самое, многочлен f (x) - нулевой)" и "значение многочлена f(x) при х=с равно нулю". Например, многочлен f (x) =x2-1 не равен нулю, ибо у него есть ненулевые коэффициенты, а его значение при х=1 равно нулю. Короче, f (x) ≠0, а f (1) =0.
Между понятиями равенства многочленов и значения многочлена существует тесная взаимосвязь. Если даны два равных многочлена f (x) и g (x), то их соответствующие коэффициенты равны, а значит, f (c) = g (c) для каждого числа с. Другими словами, если f (c) = g (c) для каждого числа c, то равны ли многочлены f (x) и g (x)? Попробуем ответить на этот вопрос в частном случае, когда f (x) = px2 +qx+r, а g (x) = kx+m. Так как f (c) = g (c) для каждого числа с, то, в частности, f (0) = g (0),f (1) = g (1),f (-1) = g (-1).
Вычислив фигурирующие в этих равенствах значения рассматриваемых многочленов, получим систему
Из этой системы следует, что p = 0, q = k, r = m, а значит, f (x) = g (x).
Таким образом, для рассмотренного примера ответ на поставленный вопрос положителен. Оказывается, это справедливо и в общем случае, после ознакомления с некоторыми другими понятиями и утверждениями теории многочленов.
Операции над многочленами
Многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом в результате снова получается многочлен. Указанные операции обладают известными свойствами:
f (x) +g (x) =g (x) +f (x),
f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x),
f (x) g (x) =g (x) f (x),
f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x),
f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).
Установим еще несколько полезных свойств операций над многочленами.
Пусть даны два многочлена f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an≠0, и g (x) =bmxm+bm-1xm-1+... +b1x+bm≠0. Ясно, что ст. f (x) =n, а ст. g (x) =m. Нетрудно заметить, что если перемножить эти два многочлена, получится многочлен вида f (x) g (x) =anbmxm+n+... +a0b0. Так как an≠0 и bn≠0, то anbm≠0, а значит, ст. (f (x) g (x)) =m+n. Отсюда следует важное утверждение.
Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей, или, короче, ст. (f (x) g (x)) =ст. f (x) +ст. g (x).
Легко доказать, что аналогичное утверждение имеет место для любого конечного числа ненулевых сомножителей, т.е. что ст. (f1 (x) f2 (x)... fs (x)) = ст. f1 (x) +ст. f2 (x) +... +ст. fs (x).
Из рассуждений, приведенных выше для степени произведения двух многочленов, следует два полезных утверждения, которые легко распространяются на любое конечное число сомножителей.
Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен произведению старших членов (коэффициентов) сомножителей.
Свободный член произведения двух многочленов равен произведению свободных членов сомножителей.
Степени многочленов f (x),g (x) и f (x) ±g (x) связаны следующим соотношением: ст. (f (x) ±g (x)) ≤ max
ст. f (x), ст. g (x) 
.Напомним, что многочлен - выражение вид anxn+an-1xn-1+ … + +a1x+a0.
Будут ли многочленами выражения: 2x2+4+3x3; (x2-1) (2x+5); (x2+1) (x-3) + 2x?
Попробуем разобраться в этом.
Первое выражение можно рассматривать как сумму многочленов f1 (x) =2x2, f2 (x) +4, fa (x) +3x3. Но, как известно, сумма многочленов - это тоже многочлен. Значит, первое выражение можно считать неудачно записанным многочленом. Воспользовавшись тем, что при сложении многочленов слагаемые можно переставлять местами, получим 2x2+4+3x3 = f1 (x) +f2 (x) + f3 (x) =f3 (x) +f1 (x) +f2 (x) =3x3+2x2+4.
Аналогично второе выражение - это произведение многочленов g1 (x) =x2-1 и g2 (x) =2x+5, а значит, тоже многочлен. Легко убедиться, что и третье выражение также является многочленом.
Теперь познакомимся с еще одной операцией над многочленами - суперпозицией.
Суперпозицией многочленов f (x) и g (x) называется многочлен, обозначаемый f (g (x)), который получается если в многочлене f (x) вместо x подставить многочлен g (x).
Например, если f (x) =x2+2x-1 и g (x) =2x+3, то f (g (x)) =f (2x + 3) = (2x+ 3) 2+2 (2x+3) - 1=4x2+16x+14,g (f (x)) =g (x2+2x-1) =2 (x2+2x - 1) +3=2x2+4x+1.
Видно, что f (g (x)) ≠g (f (x)), т.е. суперпозиция многочленов f (x), g (x) и суперпозиция многочленов g (x), f (x) различны. Таким образом, операция суперпозиции не обладает свойством переместительности.
Схема Горнера
Разделить с остатком многочлен f (x) на ненулевой многочлен g (x) - это значит представить f (x) в виде f (x) =g (x) s (x) +r (x), где s (x) и r (x) -многочлены и либо r (x) =0, либо ст. r (x) < ст. g (x). S (x) назовем неполным частным, а r (x) - остатком при делении f (x) на g (x).
Неполное частное при делении можно найти с помощью простого правила, называемого схемой Горнера, которое, кстати, позволяет найти и остаток.
Пусть f (x) =anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0, an≠0 - многочлен n-й степени. При делении его на x- c мы получим неполное частное s (x) и остаток r, т.е.f (x) = (x- c) s (x) + r. Так как ст. f (x) = n, а ст. (x - c) = 1,то
ст. s (x) = n - 1, т.е. s (x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x+ b0, bn-1 ≠ 0. Таким обрзом, имеем равенство
anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0 = (x - c) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0) +r.
Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие коэффициенты. Приравняем их, раскрыв предварительно скобки и приведя подобные члены в правой части данного равенства. Получим:
a= bn-1,a-1 = bn-2 - cbn-1,a-2 = bn-3 - cbn-2,
a2 = b1 - cb2,a1 = b0 - cb1,a0 = r - cb0.
Напомним, что требуется найти неполное частное, т.е. его коэффициенты, и остаток.
Выразим их из полученных равенств:
bn-1 = an,
b n-2 = cbn-1 + an-1,b n-3 = cbn-2 + a n-2,
b1 = cb2 + a2,b0 = cb1 +a1,r = cb0 + a0.
Мы нашли формулы, по которым можно вычислять коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера.