Корни многочленов от одной переменной (стр. 5 из 6)
Таблица 11.
| 3 | 8 | -8 | -8 | |
| 2/3 | 3 | 10 | -4/3 | -80/9 |
Получили, что остаток при делении g (x) на x-2/3 равен - 80/9, т.е.2/3 не является корнем многочлена g (x), а значит, и f (x).
Далее легко находим, что - 2/3 - корень многочлена g (x) и g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Тогда f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Дальнейшую проверку можно проводить для многочлена x2+2x-4, что, конечно, проще, чем для g (x) или тем более для f (x). В результате получим, что числа 2 и - 4 корнями не являются.
Итак, многочлен f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и - 2/3.
Напомним, что описанный выше метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: - 1±√5 (это корни многочлена х2+2х-4). А, вообще говоря, многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.
Теперь дадим несколько советов.
При испытании "кандидатов" в корни многочлена f (x) с помощью второй из доказанных выше теорем обычно используют последнюю для случаев k=±1. Другими словами, если l/m- "кандидат" в корни, то проверяют, делится ли f (1) и f (-1) на l-m и l+m соответственно. Но может случится, что, например, f (1) =0, т.е.1 - корень, а тогда f (1) делится на любое число, и наша проверка теряет смысл. В этом случае следует разделить f (x) на x-1, т.е. получить f (x) = (x-1) s (x), и проводить испытания для многочлена s (x). При этом не следует забывать, что один корень многочлена f (x) - x1=1 - мы уже нашли.
Если при проверке "кандидатов" в корни, оставшиеся после использования второй теоремы о рациональных корнях, по схеме Горнера получим, что, например, l/m- корень, то следует найти его кратность. Если она равна, скажем, k, то f (x) = (x-l/m) ks (x), и дальнейшую проверку можно выполнять для s (x), что сокращает вычисления.
Таким образом, мы научились находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Оказывается, что тем самым мы научились находить иррациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами. В самом деле, если мы имеем, например, многочлен f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, то, приведя коэффициенты к общему знаменателю и внеся его за скобки, получим f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ясно, что корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена, стоящего в скобках, а у него коэффициенты - целые числа. Докажем, например, что sin100 - число иррациональное. Воспользуемся известной формулой sin3α=3sinα-4sin3α. Отсюда sin300=3sin100-4sin3100. Учитывая, что sin300=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8sin3100-6sin100+1=0. Следовательно, sin100 является корнем многочлена f (x) =8x3-6x+1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень sin100 не является рациональным числом, т.е. sin100 - число иррациональное.
§ 2. Задачи о многочленах
Задача 1.
Доказать, что многочлен
a1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6y2+a7x4+a8y4+a9x2y2+a10xy3+a11x3y
не является произведением двух многочленов, одного от x, другого от y, если не один из его коэффициентов не равен нулю.
Решение.
Пусть денный многочлен является произведением многочленов P (x) и Q (y).
Так как в этом многочлене есть такие коэффициенты, как a10xy3 и a11x3y и есть свободный член a1, следовательно, при произведении должны быть такие коэффициенты как mx3+ny3, а их нет, следовательно данный многочлен не является произведением многочленов P (x) и Q (x). ч. т.д.
Задача 2.
Многочлен с действительными коэффициентами ax2+bx+c, a>0 имеет чисто мнимый корень. Доказать, что его можно представить в виде (Ax+B) 2+ (Cx+D) 2.
Решение.
Если x=i 
- корень многочлена, то его корнем является так же число x=-i , теперь по теореме Виета найдем b и c:
и многочлен принимает вид: ax 
+a 
, который можно привести к нужному виду:
ч. т.д.
Задача 3.
Докажите, что многочлен x12-x9+x4-x+1 при всех действительных значениях x положителен.
Решение.
Разберем отдельно случаи при x<0 и x≥0.
В первом случае разобьем многочлен на три слагаемых:
(1-x) + (x4-x9) +x12, 1-x>0,x4-x9=x4 (1-x5) >0, x12>0, следовательно и вся сумма больше нуля.
Во втором случае представим многочлен в виде:
(x8+1) (x4-x) +1, x8+1>0.
Для x4-х рассмотрим два случая: при х>1, x4-х>0, следовательно и все выражение больше нуля; при х<1, - 1<x4-х≤0, а выражение x8+1 чуть больше 1, следовательно произведение - 1< (x8+1) (x4-x) ≤.0 и вся сумма больше нуля.Ч. т.д.
Задача 4.
При каких значениях a и b многочлен x4+ax3+bx2-8x+1 имеет точный квадрат.
Решение.
Точный квадрат имеет вид: (mx2+nx+p) 2, возведем его в квадрат: (mx2+nx+p) 2=m2x4+ (nx+p) 2+2mx2 (nx+p) =m2x4+n2x2+p2+2npx+2mnx3+ 2mpx2=m2x4+2mnx3+ (n2+2mp) x2+2npx+p2. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях.
1 случай:
2 случай:
3 случай:
4 случай:
Ответ: a1=-8, b1=18; a2=8, b2=14.
Задача 5.
Докажите, что если многочлен a0xn+a1xn-1+ … +an, a0≠0 при всех действительных значениях х положителен, то он представляется в виде суммы квадратов двух многочленов.
Решение.
Данный многочлен не может иметь действительных корней; следовательно, его корни являются попарно комплексно-сопряженными. Поэтому многочлен представляется в виде:
A [ (x-α1) 
… (x-αk)] [ (x- 
) … (x- 
)], где А>0.
Если f (x) - действительная часть многочлена, получающегося после раскрытия скобок в первой квадратной скобке, и g (x) - его мнимая часть, то вторая квадратная скобка представляется в виде f (x) -ig (x) (так как она комплексно-сопряжена с первой).
Данный многочлен, следовательно, равен
A [f (x) +ig (x)] [f (x) - ig (x)] = A [f2 (x) +g2 (x)].
Задача 6.
Число с является корнем многочлена
f (x) =anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0. Укажите какой-либо корень многочлена на g (x) =anxn-an-1xn-1+an-2xn-2+ … + (-1) na0.
Решение.
Так как с - корень, то
f (c) =ancn+an-1cn-1+an-2cn-2+ … +a1x+a0=0.
Покажем, что -с - корень многочлена g (x). Вычислим
g (-c) =an (-c) n-an-1 (-c) n-1+an-2 (-c) n-2 - … + (-1) na0.
Если n- четное число, то n-1 - нечетное, n-2 - четное, n-2 - четное и т.д. Тогда g (-c) =ancn+an-1cn-1+an-2cn-2+ … +a0=0. Если же n- нечетное, то n-1 - четное, n-2 - нечетное и т.д. Тогда g (-c) =-ancn-an-1cn-1-an-2cn-2 - … - a0= - f (c) =0.