Краевые задачи для алгоритмов приближённого построения заданного режима термообработки проволок на встречных курсах (стр. 2 из 4)

Простым отжигом проволок назовём физически упрощённую модель обсуждаемых термопроцессов, основанную на следующих гипотезах:

1. Искомый эффект этой термообработки достигается нагревом проволок до данной максимальной температуры

, а качество термообработки определяется уровнем возмущений температуры , ограниченных определённой предельной величиной [ ].

2. В интервале температур термообработки материал проволок сохраняет неизменными свои плотность

и удельную теплоёмкость .

3. Теплоизоляция термоаппарата, столь совершенна, что всё тепло, поступающее из внешних источников, поглощается обрабатываемыми проволоками.

4. Тепловая инерция муфеля намного превосходит тепловую инерцию содержащихся в нём проволок.

5. Тепловые потоки между проволоками и муфелем нормальны к его оси Ох и подчиняется закону теплопроводности Фурье, т.е. пропорциональны соответствующим разностям температур.

6. Плотность теплового потока от внешнего источника тепла

постоянна по длине и ширине муфеля.

Математической моделью данного вида термообработки служат уравнения теплового баланса на участке рабочей зоны [x, x+∆x] за интервал времени ∆t при стационарном термопроцессе.

Пусть Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) – стационарные распределения температур проволок и муфеля в рабочей зоне х

[-L; L]

(1.1)

— их приращения на участке рабочей зоны [х; х+∆x],

(1.2)

— количества массы этих проволок, проходящих за время ∆tчерез данный участок канала,

(1.3)

(1.4)

– количества тепловой энергии, поглощаемой здесь за это время проволоками А и В,

(1.5)

– среднее количество тепла, поглощаемой одной проволокой на участке рабочей зоны [х; х+∆х] за время ∆t.

При равномерном обогреве муфеля за время ∆t на данном участке канала в расчёте на одну проволоку поступит количества тепла

(1.6)

Из (1.5) и (1.6) находим, что при муфельном нагреве

(1.7)

В то же время, скорости изменения температур проволок равны

(1.8)

а скорость изменения их средней температуры ровна

(1.9)

следовательно,

(1.10)

(1.11)

при чём i=const, если i=const.

Согласно гипотезе 4°, при стационарном муфельном нагреве проволок количество тепла поглощаемого проволоками А и В за время ∆t на участке рабочей зоны [х; х+∆х], пропорциональны этому времени, боковой поверхности проволок и соответствующим разностям температур:

(1.12)

(1.13)

где

>0 и 0 – условные коэффициенты теплообмена каждой из проволок, соответственно, с муфелем и с соседней проволокой.

При раздельном движении проволок А и В в соседних каналах теплообмен между ними возможен только косвенный, через тело муфеля, чему соответствуют значения

>0 и = 0. Если же эти проволоки движутся в общем канале, то их косвенный теплообмен будет дополнятся прямым теплообменом, интенсивность которого характеризуется коэффициентом > 0 и пусть

(1.14)

– параметр, определяющий соотношение интенсивностей прямого и косвенного теплообмена проволок для условий данного термопроцесса.

Интенсивность прямого теплообмена проволок можно регулировать различными известными способами, в частности, изменением расстояния между ними. Возможный диапазон такого регулирования, согласно нашим расчётам можно оценить значением g

[0; l]. В данном исследовании для соответствующих ориентировочных расчётов будет приниматься значение g=0,5.

Исходный процесс термообработки проволок на параллельных курсах с нагревом в газовой среде считаем определённым с полнотой, достаточной для вычисления соответствующего значения коэффициента

. Пусть – аналогичный коэффициент для иного варианта процесса той же термообработки тех же проволок с той скоростью,

(1.15)

– его относительная величина. Значением

будут моделироваться такие же условия теплообмена проволок и муфеля, которые имеют место при исходном термопроцессе. При заполнении каналов муфеля жидкой рабочей средой интенсивность теплообмена проволок увеличивается, по крайней мере, на порядок. В ориентировочных расчётах такой вариант термопроцесса будем моделировать значением f=10.

И так, в данном исследовании качественные оценки основных показателей различных вариантов обсуждаемых термопроцессов будем моделировать при следующих значениях параметров:

_

(1.16)

(1.17)

Уравнения баланса тепла для рассматриваемых элементов проволок А и В можно получить попарно приравнивая величины (1.3), (1.12) и (1.4), (1.13).

(1.18)

Условия данной термообработки проволок на параллельных курсах выражаются соотношениями:

, (1.19)

(1.20)

а на встречных курсах – соотношениями

(1.21)

(1.22)

Кроме того, общим является условие, что

(1.23)

Таким образом, для нахождения трёх неизвестных функций Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) получена система трех уравнений (1.10), (1.18), решения которых, удовлетворяющие соответствующей комбинации условий (1.19) – (1.23), позволяют единообразно описать и оценить показатели кинетики различных вариантов простого отжига, используя в качестве базовых данных известные параметры некоторого исходного процесса данной термообработки. Сравнение показателей кинетики двух вариантов данной термообработки, отличающихся только направленностью движения соседних проволок А и В, позволяет выявить неизвестные особенности режимов термообработки проволок на встречных курсах.

2. Простой отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате

Этот процесс описывается зависимостями (1.10), (1.11), (1.18), (1.21) – (1.23). Условия его осуществления сохраняем идентичными условиям процесса термообработки проволок на параллельных курсах.

В этом случае в рабочей зоне x

[-L; L] распределения температур Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) проволок А, В и муфеля С удовлетворяют соответствующим условиям симметрии:

(2.1)

Эти условия являются необходимыми условиями обеспечения одинаковых режимов термообработки для всех проволок, независимо от направления их движения и названные зависимости удовлетворяют этим условиям. Проволоки А и В с начальной температурой, условно принятой равной нулю, вступают в рабочую зону с противоположных сторон: