Краевые задачи и разностные схемы (стр. 4 из 7)

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.

Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n+1)-й точки или более.

Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.

Система уравнений с трехточечным представлением производных	Вектор разностного решения с шагом h=0.1
-199 +100 +0.1=0	0.0186590989712	0.0186415437361
100 -199 +100 +0.2=0	0.0361316064473	0.0360976603850
100 -199 +100 +0.3=0	0.0512427953890	0.0511947672548
100 -199 +100 +0.4=0	0.0628415300546	0.0627828520998
100 -199 +100 +0.5=0	0.0698118753674	0.0697469636621
100 -199 +100 +0.6=0	0.0710840847137	0.0710183518969
100 -199 +100 +0.7=0	0.0656455142231	0.0655851465687
100 -199 +100 +0.8=0	0.0525504484304	0.0525024675253
100 -199 +0.9=0	0.0309298757856	0.0309018656257

Система уравнений для пяти-точечногопредставления производных	Вектор решения
-9940 +3000 +2000 -500 +6=0	0.0186406186406
8000 -14940 +8000 -500 +12=0	0.0360968696594
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +18=0	0.0511941848390
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +24=0	0.0627825213460
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +30=0	0.0697468774179
-500 +8000 -14940 +8000 -500 8+36=0	0.0710184988305
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +42=0	0.0655854996422
-500 +8000 -14940 +8000 +48=0	0.0525029672554
-500 +2000 +3000 -9940 +54=0	0.0309024932693

Система уравнений для пяти- и шести точечного представления производных	Вектор решения
-3720 -1000 +3500 -1500 +250 +3=0	0.0186415486274
8000 -14940 +8000 -500 +12=0	0.0360976918947
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +18=0	0.0511948294923
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +24=0	0.0627829167486
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +30=0	0.0697469746974
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +36=0	0.0710183243686
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +42=0	0.0655851063829
-500 +8000 -14940 +8000 +48=0	0.0525024168959
250 -1500 +3500 -1000 -3720 +27=0	0.0309018105849

Система уравнений для семиточечного представления производных	Вектор решения
-7260 -12750 +23500 -14250 +4650 -650 +9=0	0.0186415513486
11400 -20910 +10000 +750 -600 +100 +18=0	0.0360976659970
-1350 +13500 -24410 +13500 -1350 +100 +27=0	0.0511947713313
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10 +3.6=0	0.0627828547351
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10 +4.5=0	0.0697469648318
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10 +5.4=0	0.0710183515790
100 -1350 +13500 -24410 +13500 -1350 +63=0	0.0655851447467
100 -600 +750 +10000 -20910 +11400 +72=0	0.0525024640963
-650 +4650 -14250 +23500 -12750 -7260 +81=0	0.0309018602217

В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x(t) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.