Краевые задачи и разностные схемы (стр. 6 из 7)

Значения функции в узлах сетки обозначим через

и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:

После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:

В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов

и значениями функции на границе, как показано ниже:

u(0,0)	0.5	0.476	0.404	0.294	0.154
0.5	u(1,1)	u(1,2)	u(1,3)	u(1,4)	u(1,5)
0.476	u(2,1)	u(2,2)	u(2,3)	u(2,4)	u(2,5)
0.404	u(3,1)	u(3,2)	u(3,3)	u(3,4)	u(3,5)
0.294	u(4,1)	u(4,2)	u(4,3)	u(4,4)	u(4,5)
0.154	u(5,1)	u(5,2)	u(5,3)	u(5,4)	u(5,5)
0	0	0	0	0	0

Уравнения для 25 внутренних точек u(i,k):

0.5-4·u(1,1)+u(1,2)+u(2,1) +0.5=0,u(1,1)-4·u(2,1)+u(2,2)+u(3,1)+0.476=0,u(2,1)-4·u(3,1)+u(3,2)+u(4,1)+0.404=0,u(3,1)-4·u(4,1)+u(4,2)+u(5,1)+0.294=0,u(4,1)-4·u(5,1)+u(5,2)+0.154=0,0.476+u(1,1)-4·u(1,2)+u(1,3)+u(2,2)=0,u(1,2)+u(2,1)-4·u(2,2)+u(2,3)+u(3,2)=0,u(2,2)+u(3,1)-4·u(3,2)+u(3,3)+u(4,2)=0,u(3,2)+u(4,1)-4·u(4,2)+u(4,3)+u(5,2)=0,u(4,2)+u(5,1)-4·u(5,2)+u(5,3)=0,0.404+u(1,2)-4·u(1,3)+u(1,4)+u(2,3) =0,u(1,3)+u(2,2)-4·u(2,3)+u(2,4)+u(3,3)=0,u(2,3)+u(3,2)-4·u(3,3)+u(3,4)+u(4,3)=0

u(3,3)+u(4,2)-4·u(4,3)+u(4,4)+u(5,3)=0,u(4,3)+u(5,2)-4·u(5,3)+u(5,4)=0,0.294+u(1,3)-4·u(1,4)+u(1,5)+u(2,4) =0,u(1,4)+u(2,3)-4·u(2,4)+u(2,5)+u(3,4)=0,u(2,4)+u(3,3)-4·u(3,4)+u(3,5)+u(4,4)=0,u(3,4)+u(4,3)-4·u(4,4)+u(4,5)+u(5,4)=0,u(4,4)+u(5,3)-4·u(5,4)+u(5,5)=0,0.154+u(1,4)-4·u(1,5)+u(2,5) =0,u(1,5)+u(2,4)-4·u(2,5)+u(3,5)=0,u(2,5)+u(3,4)-4·u(3,5)+u(4,5)=0,u(3,5)+u(4,4)-4·u(4,5)+u(5,5)=0,u(4,5)+u(5,4)-4·u(5,5)=0.

Результат решения системы из 25 уравнений представлен в таблице:

u(0,0)	0.5	0.476	0.404	0.294	0.154
0.5	0.444618	0.389236	0.316975	0.225193	0.116966
0.476	0.389236	0.319355	0.249474	0.172833	0.0886772
0.404	0.316975	0.249474	0.188730	0.127986	0.0649079
0.294	0.225193	0.172833	0.127986	0.0854773	0.0429672
0.154	0.116966	0.0886772	0.0649079	0.0429672	0.0214836
0	0	0	0	0	0

Следует отметить, что в трех точечном представлении конечно-разностные выражения производных второго порядка для внутренних и приграничных точек совпадают. Это позволяет для прямоугольных областей, заменив двумерную индексацию неизвестных

одномерной

преобразовать систему уравнений в векторно-матричную форму записи с блочно-диагональной матрицей коэффициентов, которая удобна для решения алгебраических уравнений с числом неизвестных более 100 на векторных вычислительных машинах:

, I

– матрицы, соответственно, блочная, коэффициентов и единичная;

– соответственно, векторы неизвестных и правых частей уравнения со своими блочными компонентами.

В конечно-разностном представлении уравнения Лапласа каждое уравнение является для соответствующей точки области формулой вычисления среднего арифметического совокупности значений функции в соседних точках:

Погрешность конечно-разностного представления уравнения Лапласа в виде системы алгебраических уравнений определяется погрешностью аппроксимации производных, которая для трех точечного варианта, приведенного выше, пропорциональна шагу сетки.

Естественно желание повысить точность аппроксимации лапласиана, добавив в структуру его конечно-разностного представления значения функции в дополнительных точках при сохранении суммирования значений из окружающих точек.

6. Повышение точности разностных схем

Оператор сдвига, преобразующий значение функции в точке z в значение функции в точке z+h выражается через оператор производной

, как

, а его применение представляется выражением:

Обозначив операторные выражения для сдвига значений функции по осям x, y соответственно

несложно записать с их помощью следующие операторные выражения:

Во фрагменте сетки, изображенной в виде таблицы

, для каждой представленной индексом точки записано значение функции, выраженное через значение функции в центральной точке, преобразованное соответствующими операторами сдвига:

Вычислим суммы значений функций, симметрично располагающихся вокруг центральной точки:

Подобными преобразованиями операторных выражений можно получить формулы для следующих сумм:

и любых других.

Включая выражения для частичных сумм в единую сумму с различными весовыми коэффициентами, пренебрегая выражениями с производными и лапласианами высоких порядков, получают конечно-разностные формулы, аппроксимирующие уравнение Лапласа в заданной точке и содержащие большее число значений искомой функции.

Например, из выражения для

непосредственно следует

что, после пренебрежения слагаемыми в правой части, полностью соответствует трех точечной разностной аппроксимации частных производных. Суммируя

с весами соответственно 4 и 1, получим аппроксимацию производных по значениям в восьми точках: