Кривые второго порядка (стр. 2 из 3)

Числа aи b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

Точки

называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид

(14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как

, то (15)

Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы

называется отношение межфокусного расстояния к длине действительной оси :

(16)

Следовательно,

Выразим фокальные радиусы точки

через эксцентриситет. Из (12)

(17)

Прямые

называются директрисами гиперболы.

– левая директриса,

– правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

(18)

т. е. отношение расстояния

от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые

(19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так

– эксцентриситет, – уравнения директрис.

3 Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

Пусть ось Оxпроходит через фокус Fпараболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда

, а уравнение директрисы .

Число p– называется фокальным параметром параболы.

Пусть

– произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M. d– расстояние от точки М до директрисы. Тогда

По определению параболы

. Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

(20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оxи проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Так как для параболы

, а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

х² = 2q y (21)

Фокус этой параболы находится в точке

. Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой .

Если q> 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1

Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х² + у² – 4х + 6у – 3 = 0.

Решение.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х² + у² – 4х + 6у – 3 = (х² – 4х + 4) – 4 + (у² + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2)² + (у + 3)² = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

ПРИМЕР 2

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4;

) и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению

Фокусы находятся на оси Ох, следовательно

Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а² и в²:

Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:

Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4,

, .

Þr₁ = а + eх =

= 8 – 3 = 5,

r₂ = а – eх =

= 8 + 3 = 11.

ПРИМЕР 3

Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.

Решение.

Пусть М (х, у). Тогда çMNú = 2 çMFú, çMNú = ç–4 – xú, çMFú= =

, Þç– (4 + х)ú = .

Возведем в квадрат: (4 + х)² = 4 ((х + 1)² + у²),

Þ 16 + 8х + х² = (х² + 2х + 1 + у²) · 4 = 4х² + 8х + 4 + 4у²,

Þ 3х² + 4у² = 12 Þ

Þ .

Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.