Кривые второго порядка (стр. 3 из 3)
ПРИМЕР 4
Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса
.Решение.
Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.
Следовательно,
Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F1(–с; 0) = (–4; 0), F2(4; 0).Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)
,причем F1(–5; 0), F2(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с1 = 5. Найдем а1 и в1.
Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а1 = с = 4. Следовательно:
.Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид
ПРИМЕР 5
Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.
Решение.
Пусть точка М (х, у) – принадлежит данному множеству точек.
Следовательно çFMú = çNMú , çFMú ==
, çNMú = 2 – у, Þ 2 – у = 
.Возведем в квадрат:
– парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох.
у = 0 Þ
Þ 
Þх1 = 0; х2 = 4.Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).
Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 Þ
= = 2 – 1 = 1, т. е.Вершиной параболы будет точка (2; 1).
ПРИМЕР 6
На параболе у2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.
Решение.
Так как у2 = 2рхÞ 2р = 6, р = 3.
Þ 
= = 
Значит у2 = 6 · 3 = 18 Þу = ± 
= ± 
. Þ (3; ± ) – две таких точки.ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.