Кривые второго порядка (стр. 1 из 3)

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кривые второго порядка

СОДЕРЖАНИЕ

1 Окружность. Эллипс

2Гипербола

3Парабола

4 Литература

1 Окружность. Эллипс

При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и увходят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведениех^·у(степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями:

– урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R;

– уравнение гиперболы, – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть

– центр
окружности. R– радиус окружности. Пусть – произвольная точка окружности. Следовательно, = =

(1)

(1) – уравнение окружности радиуса Rcцентром в точке с координатами

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0,большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем

т. е. – межфокусное расстояние эллипса.

Пусть

– произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению эллипса: r₁ + r₂ = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

(2)

Умножим (2) на

(3)

Сложим уравнения (2) и (3):

(4)

Возведем (4) в квадрат:

Пусть

(5)

(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке

Числа а и

называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки

, называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:

Так как

(6)

Эксцентриситетом эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

(7)

Следовательно,

причем когда т. е. имеем окружность.

При

стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.

Выразим фокальные радиусы точки

через эксцентриситет. Из (4):

(8)

Из (3):

Значит, подставив координаты точки

эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.

Прямые

называются директрисами эллипса.

– левая директриса,

– правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

(9)

т. е. отношение расстояния r_i от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию d_i от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

2 Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек

той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая, чем расстояние между фокусами

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем

т. е. Заметим, что

Пусть

– произвольная точка гиперболы. Как и ранее, – фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы:

где

Следовательно,

(10)

Умножим (10) на

(11)

Сложим уравнения (10) и (11):

(12)

Возведем (12) в квадрат:

Пусть

(13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке