Критерии согласия (стр. 4 из 7)
Как же после всех этих предостережений можно применить теорему Фишера к проверке гипотезы о типе выборки? Обсудим это на примере нормального распределения, параметры которого (а, σ2) неизвестны.
Итак, есть выборка х1, …, хп большого объема, проверить нормальность которой мы хотим с помощью (4.1) или (4.2) или их модификаций. Прежде всего мы должны разбить числовую прямую на r непересекающихся областей, а еще прежде – выбрать само число r. Сейчас существует убеждение (подкрепленное асимптотическими исследованиями), что против гладкой альтернативы лучше брать r небольшим – несколько единиц. Если же конкурируют с нормальным распределением все другие возможности, число r стоит взять таким большим, какое позволяет последующее использование аппроксимации хи-квадрат.
Допустим, что r уже выбрано, и можно переходить к разбиению пространства на области. При этом надо позаботится о том, чтобы ожидаемые частоты этих областей были достаточно велики для того, чтобы для χ2 действовала аппроксимация χ2. поскольку истинное распределение вероятностей неизвестно, приходится опираться на какую-либо его оценку. В данном примере – на оценку
истинной функции распределения
Чтобы не ломать бесплодно голову над вопросом, какими должны быть вероятности этих областей, а точнее в данном случае – их приближенные значения, возьмем их одинаковыми. Иными словами, в качестве границ интервалов используем решения уравнений
, 
Замечу, что в качестве оценки функций распределения можно использовать и выборочную функцию распределения Fn(х), и другие возможности. В этом случае границами интервалов разбиения будут служить выборочные квантили (порядковые статистики).
После того, как мы определили интервалы разбиения числовой прямой, подсчитываем частоты т1, …, тr, по которым будем вычислять потом статистику χ2 (4.1) или (4.2) или какую- либо эквивалентную.
Следует подчеркнуть, что согласно теореме Фишера, для вычисления участвующих в этих формулах вероятностей рі(
) следует использовать частоты т1, …, тr, и только их. Никакой другой информацией пользоваться нельзя! Нельзя, например, использовать 
составлены по всей выборке ,а должны быть – по частотам ті.Можно даже сказать, какие последствия повлечет за собой нарушение этого запрета. Статистика χ2 не будет (асимптотически) следовать распределению χ2 с r – l степенями свободы (как было бы при точно известных параметрах). Ее функция распределения пройдет несколько выше. В качестве иллюстрации на рис. 4.1 приведе6м графики функций распределения хи-квадрат с 8, 10, 18 и 20 степенями свободы. Графики, соответствующие первым двум распределениям, выделяют область в которой будет проходить график функции распределения χ2 при r = 11, если для вычисления рі(
) использовались оценки . Последние два графика задают область нахождения функции распределения χ2 при r = 21.
Рис. 4.1 функции распределения хи-квадрат с8,10,18 и 20 степенями свободы.
При больших r относительное развитие между квантилями распределений χ2 с (r – 3) и (r – 1) степенями свободы невелико. Поэтому последствия такой ошибки не опасны. Но при r следует действовать «по теории».
Из-за всех этих сложностей, условий и оговорок можно сделать вывод, что для проверки гипотезы о нормальности выборки критерий Р. Фишера подходит плохо. Правильнее вместо этого использовать модификации критериев Колмогорова или омега-квадрат. Но для многих распределений вероятностей (например – дискретных) другой возможности, чем обсуждаемый критерий хи-квадрат Фишера, просто нет.
1.5 Другие критерии согласия. Критерии согласия для распределения Пуассона
Еще одна возможность для проверки согласия, которой тоже часто пользуются. Состоит она в том, что проверяют не исходную гипотезу целиком, а какие-либо ее последствие, которое считается важным. Для нормальной случайной величины ξ коэффициент асимметрии равен нулю.
(5.1)Поэтому коэффициент асимметрии выборки
(5.2)тоже должен быть близок к нулю, если эта выборка – нормальная.
Чтобы судить о том, значимо ли отличается от нуля выборочное значение (5.2), и тем самым, не нарушено ли обязательное для нормального закона соотношение (5.1), надо знать, как распределена статистика (5.2) при гипотезе. Для малых выборок исследование подобных вопросов возможно далеко не всегда и, во всяком случае, требует особого рассмотрения в каждом случае. Иное дело большие выборки.
Есть стандартная методика, которая позволяет справится с этой задачей. Покажем ее действие на другом примере, поскольку о нормальном законе говорилось лишком много. Посмотрим, как можно проверить согласие выборки с распределением Пуассона. Для случайной величины ξ, распределенной по Пуассону
Dξ/Мξ = 1, (5.3)
так как для распределения Пуассона Dξ = Мξ = λ, где λ – параметр распределения. Поэтому если выборка х1, …, хп извлечена из пуассоновской генеральной совокупности, то отношение должно быть близким к 1. Ниже пойдет речь о том как проверить.
(5.4)Но сначала одно замечание общего характера: такие проверки никак не могут доказать соответствия выборки теоретическому закону даже при неограниченном возрастании числа наблюдений. Причина в том, что соотношение типа (5.1) и (5.3) не являются характеристиками: даже если (5.1) справедливо, оно не означает, что ξ непременно распределено нормально. Это свойство необходимо для нормальности распределения, но не достаточно. То же самое можно сказать о (5.3): это необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы распределение было пуассоновским. После этого обсуждения обратимся к изучению свойств статистики (5.4). объем выборки п будет считать большим.
Воспользуемся тем, что при n → ∞ случайные величины S2 – Dξ и х – Мξ стремятся к 0 (закон больших чисел). Поэтому для пуассоновской выборки:
Многоточие заменяет случайную величину, убывающую как n-1. раскрыв скобки, получаем, что:
Исследуем при n → ∞ поведение выражения
главной случайной составляющей дроби
Без ущерба для точности вывода вместо S2 можно взять случайную величину:
Тогда вместо S2 – х появляется:
В силу центральной предельной теоремы эта сумма независимых и одинаково распределенных случайных величин распределена приблизительно нормально, с математическим ожиданием:
М[(ξ – λ)2 – ξ] = 0 и дисперсией
Для вычисления последнего выражения надо знать, что четвертый и третий центральные моменты пуассоновского распределения равны соответственно
После этого подсчет дает, что D[(ξ – λ)2 – ξ] = 2λ2. Следовательно, статистика (5.4)
распределена приблизительно по закону N(1, 2λ2/ n).Зная распределение статистики (5.4) в случае справедливости нулевой гипотезы о принадлежности выборки к распределению Пуассона, можно указать пределы, в которые с вероятностью приблизительно, скажем, 0.99 должно попадать отношение
в случае справедливости гипотезы: 
(5.5)где, и0 обозначает квантиль уровня α стандартного нормального распределения.