Логические задачи и методы их решения (стр. 2 из 6)

Может быть, интересным покажется решение этой задачи на координатной плоскости. По оси абцисс располагаются элементы одного множества (в данном случае профессии), а по оси ординат – элементы другого множества (фамилии). Соответствие и несоответствие между элементами обозначается темными и светлыми фигурами (кружками). При заполнении квадрата используются те же правила взаимооднозначного соответствия (рис.6).

У(фамилия)

Гришин ○ ○ ○ ○ ●

Иванов ○ ○ ○ ● ○

Сидорчук ● ○ ○ ○ ○

Петров ○ ○ ● ○ ○

Веселов ○ ● ○ ○ ○

П-н М-р М-к П-р П-к х(профессия)

Рис.6.

Интересно рассмотреть задачу, правила решения которой несколько отличаются от уже знакомых.

Задача 5. «Леночка и разноцветные игрушки».

- Ой, какие красивые разноцветные шарики! А какие коробочки! Дедушка, ну, пожалуйста, подари их мне! – воскликнула Леночка, едва переступив порог дедушкиной комнаты.

- Посмотрим, заслуживаешь ли ты такого подарка, - ответил дедушка, и попросил Леночку на некоторое время выйти из комнаты. Но не прошло и минуты, как как девочка услышала, что её уже зовут.

- Перед тобой пять коробочек: одна белая, одна чёрная, одна красная, одна синяя и одна зеленая, - сказал дедушка. – Шарики тех же цветов, что и коробочки, по два шарика каждого цвета: два белых, два чёрных, два красных, два синих и два зелёных. В каждую коробочку я положил по два шарика. Чтобы ты не думала, будто цвет шариков в коробочке совпадает с цветом самой коробочки, скажу сразу: шарики по коробочкам я разложил как пришлось. Если ты скажешь, какого цвета шарики лежат в каждой коробочке, то я подарю тебе все шарики вместе с коробочками.

- Но ведь это очень трудно, - печально вздохнула Леночка.

- Совсем не трудно, - утешил её дедушка. – К тому же я помогу тебе – вот послушай:

1) ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;

2) ы красной коробочке нет синих шариков;

3) в коробочке нейтрального цвета лежат один красный и один зелёный шарик. (Тут Леночка, не выдержав, спросила, что такое нейтральный цвет. Дедушка объяснил, что так принято называть белый или чёрный цвет);

4) в чёрной коробочке лежат шарики холодных тонов (Леночка уже знала, что холодными называют зеленые и синие тона);

5) в одной коробочке лежат белый и один синий шарик;

6) в синей коробочке находится один черный шарик. Помогите Леночке решить дедушкину задачу!

Знаний, полученных при решении предыдущих задач достаточно, чтобы решить эту задачу. Новое здесь, то, что каждой коробочке соответствует два шарика. А метод решения учащиеся могут предложить сами.

Первый способ решения (рис.7).

Коробочка	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Шарик
Белый	-	-	-	-
Черный	-	-	-	-	+
Синий	-	-	-	-	-	-
Зеленый	+	-	-	-
Красный	+	-	-	-	-	-

Рис.7.

Из утверждений 1, 2, 3 ,4 следует, что в белой коробочке лежат один зеленый и один красный шарики. Тогда в черной коробочке лежат либо два синих, либо синий и зеленый; но из утверждения 5 следует, что два синих шарика лежать в черной коробочке не могут. Один зеленый шарик лежит в белой коробочке, второй в черной, значит зеленых шариков нет в синей и красной коробочках (рис. 8).

Белый и синий шарики лежат вместе, но вместе они могут лежать только в зеленой коробочке. Следовательно, в зеленой коробочке нет черных и красных шариков (а так же белого и второго синего). Остались неуложенными: красный, белый и черный шарики; красная коробочка пустая и синяя – с одним черным шариком.

Коробочка	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Шарик
Белый	-	-	-	-
Черный	-	-	-	-	+
Синий	-	-	+	-	-	-	-	-
Зеленый	+	-	+	-	-	-	-	-	-	-
Красный	+	-	-	-	-	-

Рис.8.

Красный шарик может лежать только в синей коробочке, а значит белый и черный – в красной (рис.9).

Коробочка	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Шарик
Белый	-	-	-	-	-	-	+	-	+	-
Черный	-	-	-	-	+	-	-	-	+	-
Синий	-	-	+	-	-	-	+	-	-	-
Зеленый	+	-	+	-	-	-	-	-	-	-
Красный	+	-	-	-	+	-	-	-	-	-

Рис.9.

Второй способ решения (рис.10).

Черная белая зеленая красная синяя

Черный

Черный белый зеленый красный синий

Красный и зеленый шарики, по условию 3, образуют пару одной коробочки. Так как в синей коробочке одно «место» занято, то эта пара может лежать только в белой. Сузим информацию. По условию 5, синий и белый шарики образуют пару. Эта пара может лежать только в зеленой коробочке (рис.11).

Черная зеленая красная синяя

Черный

Черный белый белый зеленый красный синий синий

Рис. 11.

Ещё «сузив» информацию, получим окончательное решение этой задачи (рис. 12).

Черная красная синяя

Черный

Синий белый белый черный красный

Рис. 12.

в) Сопоставление трех множеств

следующая задача «трехмерна», т.е. для ее решения нужно сопоставить три множества. Рассмотрим способ решения этой задачи при помощи таблиц.

Задача 6. «Трамвай в часы «пик».

Один психолог решил заняться изучением того, как влияет на нервную систему человека поездка в переполненном трамвае, в часы «пик». Для этого опросил по одному пассажиру с каждого из четырех маршрутов трамвая; 55, 15, 25 и 33. среди опрошенных, которых звали Андрей (А), Петр (П), Владимир (В), Леонид (Л), оказалось по одному представителю четырех профессий :слесарь(с), электромонтер (э), маляр (м), фрезеровщик (ф). К сожалению, поездки в набитых трамваях основательно истрепали нервы самому психологу. Не удивительно, что он забыл, у кого из опрошенных какая профессия. Впрочем, такая забывчивость сама по себе достаточно красноречиво говорит о том, как влияет на нервную систему человека поездка в переполненном трамвае! В памяти нашего психолога сохранились лишь бессвязные отрывки из того, что рассказывал каждый из опрошенных о своем маршруте. Разумеется, полагаться на память было нельзя, и психилог решил проверить все самым тщательным образом. Ну и, конечно, нужно было выяснить, у кого какая профессия. Вот что удалось выяснить;

1) Номер трамвайного маршрута, которым следовал Владимир, начинается не с единицы.

2) О тридцать третьем маршруте рассказывал кто-то из рабочих- металлистов.

3) Номер трамвайного маршрута, которым следовал фрезеровщик, составлен из таких цифр, что их сумма равна числу букв в имени фрезеровщика.

4) Леонид рассказал о трамвайном маршруте, номер которого состоит из двух одинаковых цифр.

5) Имя электромонтера начинается не с буквы В.

6) Петр спросил у психолога, где лучше сойти, чтобы пересесть на двадцать пятый маршрут.

7) В памяти психолога вдруг отчетливо всплыла фраза, сказанная Леонидом кому-то из пассажиров: «Вы сели не на тот трамвай, вам нужно пересесть на пятьдесят пятый».

Определите имя и профессию каждого пассажира, а также номер маршрута, о котором он рассказывал психологу.

Решение. Чтобы отразить соответствие между двумя любыми множествами, необходимо составить три таблицы. Разложив, условия задачи на элементарные запреты, отметив их в таблице, затемнив соответствующую клетку (рис. 13).

В таблице 1 (рис. 13) сразу находится частичное решение: Леонид ехал в трамвае с номером 33. Значит, что ни электромонтер, ни маляр не были пассажирами трамвая 33, и то, что Леонид не фрезеровщик, делаем вывод, что Леонид – слесарь.

На самом деле мы воспользовались «правилом треугольника». Треугольником, в данном случае, называются фигуры из трех клеток, соединенных линиями соответствия (рис. 14).

Если условия задачи непротиворечивы, то соответствующей ей схеме размещения трёх таблиц возможны лишь такие треугольники, у которых:

а) во всех вершинах расположены элементарные запреты;

б) в двух вершинах расположены элементарные запреты, а в третьей – знак соответствия (кружок);

в) во всех трех вершинах расположены знаки соответствия (кружки);

Доказательство этого правила аналогично приведенному в задаче 2. пользуясь правилом, получим окончательное решение.

Леонид - слесарь, 33-й маршрут трамвая;

Андрей - фрезеровщик, 15-й маршрут;

Владимир - маляр, 25-й маршрут;

Петр - электромонтер, 55-й маршрут трамвая.

Задачи такого типа можно давать используя только схемы расположенными на них элементарными запретами (задачи «без слов»). Кроме того, по заданной схеме учащиеся могут сами придумать условия задачи. На примере следующей задачи рассмотрим еще одно правило решения (правило переноса клеток).