Смекни!
smekni.com

Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами (стр. 2 из 8)

1) числом заявок

в узлах в момент
;

2) моментами поступлений заявок в каждый узел после момента

;

3) моментами ухода заявок из каждого узла после момента

.

Лемма 1.1 (об “отсутствии памяти” у показательного распределения).

Если

имеет показательное распределение с параметром
, то при любых
и

.

Доказательство. По определению условной вероятности

.

Моменты внешних поступлений в первый узел после момента

не зависят от предыстории сети до момента
, так как поток извне на первый узел пуассоновский; моменты поступлений заявок с узлов на данный узел после момента
в силу “отсутствия памяти” у показательного распределения времени обслуживания заявок в узлах (см. лемму 1.1) . Аналогично доказывается, что моменты уходов заявок из узлов после момента
не зависят от предыстории
до момента
. Таким образом, закон распределения
для
определяется распределением
. Значит,
- марковский процесс. [1]

Таким образом, в соответствии с определением 1.3 и вышесказанном, построена марковская модель открытой сети с тремя узлами.

1.1 Уравнения глобального равновесия

Предположим, что существует стационарное распределение. Составим уравнение равновесия для стационарных вероятностей

, которые для сетей называются глобальными уравнениями равновесия (баланса).

Из состояния

сеть может выйти либо за счёт поступления заявки в неё (интенсивность
), либо за счёт обслуживания заявки одним из узлов, например,
- ым (интенсивность
). Поэтому интенсивность выхода из состояния
для марковского процесса
равна
, где
- индикаторная функция множества
. Следовательно, поток вероятности из состояния
равен:

. (1.1.1)

Войти же в состояние

можно либо из состояния
, если в сеть поступит заявка, направленная в первый узел ( интенсивность
), либо из состояния
, если заявка завершит обслуживание во втором узле и уйдёт из сети ( интенсивность
), либо, наконец, из состояний
, (
,
), если заявка завершит обслуживание на первом, (втором, третьем) узле и перейдёт соответственно во второй, ( третий, первый) (интенсивность
, (
,
)). Поэтому поток вероятности в состояние

. (1.1.2)

Приравнивая потоки вероятности из состояния

(формула 1.1.1) и в состояние
(формула 1.1.2), получаем глобальные уравнения равновесия

. (1.1.3)

1.2 Отыскание стационарных вероятностей

Составим уравнение трафика, используя следующую формулу

, (1.2.1)

,

где

- вероятности перехода.

Решим полученную систему уравнений

Таким образом, уравнение трафика имеет единственное положительное решение

, то есть
. Положительное в том смысле, что
.

Рассмотрим изолированный

-й узел, считая, что на него поступает простейший поток заявок интенсивности
(см. рисунок 1.2.1).

Рисунок 1.2.1

Он представляет из себя систему, отличающуюся от

только тем, что интенсивность обслуживания
зависит от числа заявок в ней
,
.

Найдем стационарное распределение для такого изолированного процесса. Граф переходов изобразится следующим образом.