1) числом заявок
в узлах в момент ;2) моментами поступлений заявок в каждый узел после момента
;3) моментами ухода заявок из каждого узла после момента
.Лемма 1.1 (об “отсутствии памяти” у показательного распределения).
Если
имеет показательное распределение с параметром , то при любых и .Доказательство. По определению условной вероятности
.Моменты внешних поступлений в первый узел после момента
не зависят от предыстории сети до момента , так как поток извне на первый узел пуассоновский; моменты поступлений заявок с узлов на данный узел после момента в силу “отсутствия памяти” у показательного распределения времени обслуживания заявок в узлах (см. лемму 1.1) . Аналогично доказывается, что моменты уходов заявок из узлов после момента не зависят от предыстории до момента . Таким образом, закон распределения для определяется распределением . Значит, - марковский процесс. [1]Таким образом, в соответствии с определением 1.3 и вышесказанном, построена марковская модель открытой сети с тремя узлами.
1.1 Уравнения глобального равновесия
Предположим, что существует стационарное распределение. Составим уравнение равновесия для стационарных вероятностей
, которые для сетей называются глобальными уравнениями равновесия (баланса).Из состояния
сеть может выйти либо за счёт поступления заявки в неё (интенсивность ), либо за счёт обслуживания заявки одним из узлов, например, - ым (интенсивность ). Поэтому интенсивность выхода из состояния для марковского процесса равна , где - индикаторная функция множества . Следовательно, поток вероятности из состояния равен: . (1.1.1)Войти же в состояние
можно либо из состояния , если в сеть поступит заявка, направленная в первый узел ( интенсивность ), либо из состояния , если заявка завершит обслуживание во втором узле и уйдёт из сети ( интенсивность ), либо, наконец, из состояний , ( , ), если заявка завершит обслуживание на первом, (втором, третьем) узле и перейдёт соответственно во второй, ( третий, первый) (интенсивность , ( , )). Поэтому поток вероятности в состояние . (1.1.2)Приравнивая потоки вероятности из состояния
(формула 1.1.1) и в состояние (формула 1.1.2), получаем глобальные уравнения равновесия . (1.1.3)1.2 Отыскание стационарных вероятностей
Составим уравнение трафика, используя следующую формулу
, (1.2.1) ,где
- вероятности перехода.Решим полученную систему уравнений
Таким образом, уравнение трафика имеет единственное положительное решение
, то есть . Положительное в том смысле, что .Рассмотрим изолированный
-й узел, считая, что на него поступает простейший поток заявок интенсивности (см. рисунок 1.2.1).Рисунок 1.2.1
Он представляет из себя систему, отличающуюся от
только тем, что интенсивность обслуживания зависит от числа заявок в ней , . Найдем стационарное распределение для такого изолированного процесса. Граф переходов изобразится следующим образом.