Рисунок 1.2.2
Уравнения равновесия для вертикальных сечений имеют вид ( на рисунке 1.2.2 оно изображено пунктирной линией ).
, , ,Тогда
.Из условия нормировки
находим, что .Таким образом,
, где равны , (1.2.2) , (1.2.3) . (1.2.4)Стационарное распределение
существует и единственно, если выполняется условие эргодичности: и (1.2.5)Теорема 1.2.1.( Разложения Джексона) Пусть уравнение трафика (1.2.1) имеет единственное положительное решение
и выполнено условие эргодичности (1.2.5). Тогда финальные стационарные вероятности состояний сети Джексона имеют вид , (1.2.6)где
определяются по формуле , (1.2.7)в которой
определяется формулой . (1.2.8)Согласно теореме 1.2.1, стационарное распределение представимо в форме произведения множителей характеризующих узлы; каждый множитель есть стационарное распределение узла, то есть
,где
из формулы (1.2.2), из формулы (1.2.3), из формулы (1.2.4).Таким образом, стационарное распределение имеет следующий вид
(1.2.9)=
.1.3 Достаточное условие эргодичности
Теорема 1.3.1 (Эргодическая теорема Фостера).
Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений
имеет нетривиальное решение
такое, что При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим. [2, с. 8-14]Эргодичность исследуем в соответствии с теоремой 1.3.1. Рассмотрим условия теоремы.
Регулярность следует из того, что
. , , .Согласно рисунку 1.1, получим:
, , .Таким образом, регулярность выполняется.
Так как все состояния сообщаются с нулевым, то есть в любое состояние
можно перейти из нулевого и в можно перейти из любого состояния,путем поступления, обслуживания и ухода заявок из сети, то отсюда следует неприводимость.Примечание – здесь учитывается, что матрица переходов
неприводима.В качестве нетривиального решения системы уравнений из теоремы 1.3.1 возьмем
. Тогда для эргодичности потребуется, чтобы . Тогда получим, ,где
,Последний ряд сходится по признаку сравнения, если сходится ряд
Рисунок 2.1
Состояние сети описывается случайным процессом
,