Смекни!
smekni.com

Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами (стр. 3 из 8)


0 1 2 …

Рисунок 1.2.2

Уравнения равновесия для вертикальных сечений имеют вид ( на рисунке 1.2.2 оно изображено пунктирной линией ).

,
,
,

Тогда

.

Из условия нормировки

находим, что

.

Таким образом,

, где
равны

, (1.2.2)

, (1.2.3)

. (1.2.4)

Стационарное распределение

существует и единственно, если выполняется условие эргодичности:

и
(1.2.5)

Теорема 1.2.1.( Разложения Джексона) Пусть уравнение трафика (1.2.1) имеет единственное положительное решение

и выполнено условие эргодичности (1.2.5). Тогда финальные стационарные вероятности состояний сети Джексона имеют вид

, (1.2.6)

где

определяются по формуле

, (1.2.7)

в которой

определяется формулой

. (1.2.8)

Согласно теореме 1.2.1, стационарное распределение представимо в форме произведения множителей характеризующих узлы; каждый множитель есть стационарное распределение узла, то есть

,

где

из формулы (1.2.2),
из формулы (1.2.3),
из формулы (1.2.4).

Таким образом, стационарное распределение имеет следующий вид

(1.2.9)

=

.

1.3 Достаточное условие эргодичности

Теорема 1.3.1 (Эргодическая теорема Фостера).

Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений

имеет нетривиальное решение

такое, что
При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим. [2, с. 8-14]

Эргодичность исследуем в соответствии с теоремой 1.3.1. Рассмотрим условия теоремы.

Регулярность следует из того, что

.

,
,
.

Согласно рисунку 1.1, получим:

,
,
.

Таким образом, регулярность выполняется.

Так как все состояния сообщаются с нулевым, то есть в любое состояние

можно перейти из нулевого
и в
можно перейти из любого состояния,путем поступления, обслуживания и ухода заявок из сети, то отсюда следует неприводимость.

Примечание – здесь учитывается, что матрица переходов

неприводима.

В качестве нетривиального решения системы уравнений из теоремы 1.3.1 возьмем

. Тогда для эргодичности потребуется, чтобы
. Тогда получим,

,

где

,

Последний ряд сходится по признаку сравнения, если сходится ряд

Условие (1.3.1) и есть искомое условие эргодичности. Если это условие будет выполнятся, то будет существовать единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим.


2. ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ СЕТИ С ТРЕМЯ УЗЛАМИ

Пусть имеется открытая сеть массового обслуживания, состоящая из трёх узлов, в которую поступает простейший поток заявок с параметром

. Причём, в первую систему массового обслуживания, входящая заявка поступает с вероятностью
. Времена обслуживания заявок в
-ом узле заданы функцией распределения времени обслуживания
-ым прибором одной заявки
,
. При этом налагается следующее требование

,
. (2.1)

Дисциплины обслуживания заявок в системах сети LCFSPR - заявка, поступающая в

-ый узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться. Вытесненная с прибора заявка становится в начало очереди. Схематически сеть изображена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1

Состояние сети описывается случайным процессом

,