Смекни!
smekni.com

Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами (стр. 6 из 8)

Заявки поступают двух типов: положительные и отрицательные. Впервые модель введена в работе [8]. На рисунке 3.1 положительные заявки обозначены знаком плюс, а отрицательные знаком минус,

,
– потоки на
-ый узел,
– поток с
-ого узла,
. На выходе только положительные заявки, дальше положительные заявки разбиваются на положительные и отрицательные.

Дисциплины обслуживания заявок в системах сети определяются следующим образом.

а) Если на приборе нет заявок, то отрицательная заявка, поступающая на прибор, теряется;

б) Если на приборе нет заявок, то поступающая положительная заявка начинает обслуживаться;

в) Если на приборе заявка положительная, то пришедшая отрицательная заявка выбивает заявку с прибора и положительная заявка теряется.

г) Если в очереди

заявок положительных, то приходящая отрицательная заявка, вытесняет последнюю (положительную) заявку и в очереди становится
заявка (
-ая положительная и отрицательная заявка теряется).

Состояние сети описывается случайным процессом

,

где

– число положительных заявок в момент
, соответственно в первом, втором, третьем узле. В соответствии с разделом 1 и учитывая формулу (3.1)
– марковский процесс.

Таким образом, в соответствии с определением 1.3 и вышесказанном, построена марковская модель открытой сети с тремя узлами и разнотипными заявками.

3.1 Составление уравнений трафика

Рассмотрим изолированный
-й узел (
), считая, что на него поступает поток заявок интенсивности
. Граф переходов изобразится следующим образом.


0 1 2 …

Рисунок 3.1.1

Тогда в соответствии с рисунком 3.1.1, получим следующие соотношения

,
, (3.1.1)

где

.

Согласно рисунку 3.1

,
. (3.1.2)

Для марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками уравнения трафика имеют следующий вид:

,

,

,

,

,

.

Учитывая формулу (3.1.2) запишем ещё три уравнения

,

,

.

Таким образом, уравнения трафика имеют следующий вид

. (3.1.3)

, (3.1.4)

, (3.1.5)

, (3.1.6)

, (3.1.7)

, (3.1.8)

, (3.1.9)

, (3.1.10)

, (3.1.11)

Подставим формулу (3.1.9) в (3.1.5) и (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) и (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) и (3.1.4). Тогда уравнения трафика запишутся следующим образом

, (3.1.12)

, (3.1.13)

, (3.1.14)

, (3.1.15)

, (3.1.16)

. (3.1.17)

3.2 Нахождение решений уравнений трафика

Положительность решения уравнений трафика для достаточно общей модели доказана в работе [9].

Для нахождения решений уравнений трафика составим уравнение относительно

. Для этого преобразуем формулу (3.1.12), перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю

. (3.2.1)

Так как

, то формула (3.2.1) примет следующий вид

. (3.2.2)

Подставляя формулу (3.1.14) и (3.1.15) в (3.1.16) имеем

.

Приводим к общему знаменателю

. (3.2.3)

Подставим формулу, полученную из формулы (3.1.13) вычетом формулы (3.1.12), получим

, в формулу (3.2.3), получим

,

. (3.2.4)

Обозначим

и
, тогда