Заявки поступают двух типов: положительные и отрицательные. Впервые модель введена в работе [8]. На рисунке 3.1 положительные заявки обозначены знаком плюс, а отрицательные знаком минус,
, – потоки на -ый узел, – поток с -ого узла, . На выходе только положительные заявки, дальше положительные заявки разбиваются на положительные и отрицательные.Дисциплины обслуживания заявок в системах сети определяются следующим образом.
а) Если на приборе нет заявок, то отрицательная заявка, поступающая на прибор, теряется;
б) Если на приборе нет заявок, то поступающая положительная заявка начинает обслуживаться;
в) Если на приборе заявка положительная, то пришедшая отрицательная заявка выбивает заявку с прибора и положительная заявка теряется.
г) Если в очереди
заявок положительных, то приходящая отрицательная заявка, вытесняет последнюю (положительную) заявку и в очереди становится заявка ( -ая положительная и отрицательная заявка теряется).Состояние сети описывается случайным процессом
,где
– число положительных заявок в момент , соответственно в первом, втором, третьем узле. В соответствии с разделом 1 и учитывая формулу (3.1) – марковский процесс.Таким образом, в соответствии с определением 1.3 и вышесказанном, построена марковская модель открытой сети с тремя узлами и разнотипными заявками.
3.1 Составление уравнений трафика
Рассмотрим изолированный -й узел ( ), считая, что на него поступает поток заявок интенсивности . Граф переходов изобразится следующим образом.Рисунок 3.1.1
Тогда в соответствии с рисунком 3.1.1, получим следующие соотношения
, , (3.1.1)где
.Согласно рисунку 3.1
, . (3.1.2)Для марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками уравнения трафика имеют следующий вид:
, , , , , .Учитывая формулу (3.1.2) запишем ещё три уравнения
, , .Таким образом, уравнения трафика имеют следующий вид
. (3.1.3) , (3.1.4) , (3.1.5) , (3.1.6) , (3.1.7) , (3.1.8) , (3.1.9) , (3.1.10) , (3.1.11)Подставим формулу (3.1.9) в (3.1.5) и (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) и (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) и (3.1.4). Тогда уравнения трафика запишутся следующим образом
, (3.1.12) , (3.1.13) , (3.1.14) , (3.1.15) , (3.1.16) . (3.1.17)3.2 Нахождение решений уравнений трафика
Положительность решения уравнений трафика для достаточно общей модели доказана в работе [9].
Для нахождения решений уравнений трафика составим уравнение относительно
. Для этого преобразуем формулу (3.1.12), перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю . (3.2.1)Так как
, то формула (3.2.1) примет следующий вид . (3.2.2)Подставляя формулу (3.1.14) и (3.1.15) в (3.1.16) имеем
.Приводим к общему знаменателю
. (3.2.3)Подставим формулу, полученную из формулы (3.1.13) вычетом формулы (3.1.12), получим
, в формулу (3.2.3), получим , . (3.2.4)Обозначим
и , тогда