Математика
ЗАДАЧА №1
Предприятие выпускает четыре вида продукции П1, П2, П3, П4, при ограниченных запасах сырья С1, С2, С3, используемых для производства продукции. Известна прибыль, получаемая от реализации каждого вида продукции. Требуется определить объемы выпуска каждого вида продукции, которые обеспечат предприятию получение наибольшей прибыли при реализации продукции.
Расход сырья на производство единицы продукции, запасы сырья и прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице.
| Виды сырья | Расход сырья | Запасы сырья | |||
| П1 | П2 | П3 | П4 | ||
| С1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 800 |
| С2 | 1 | 2 | 0 | 3 | 900 |
| С3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1500 |
| Прибыль | 8 | 6 | 7 | 9 | --- |
Решение
Пусть Х1, Х2, Х3, Х4 – количество единиц выпускаемой продукции П1, П2, П3, П4 соответственно.
Тогда функция прибыли примет вид:
F(х)=8Х1+6Х2+7Х3+9Х4→max
Запишем ограничения по расходу сырья в виде системы неравенств:2Х1+Х3+2Х4≤800
Х1+2Х2+3Х4≤900
2Х1+Х2+2Х3+3Х4≤1500
Х1,2,3≥0
Перейдем от неравенств к равенствам:
2Х1+Х3+2Х4+Х5=800Х1+2Х2+3Х4+Х6=900
2Х1+Х2+2Х3+3Х4+Х7=1500
Решение будем вести в форме симплекс-таблиц.
| № п/п | Х баз | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Вi | Вi/ аiк |
| 1 | Х5 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 800 | 800 |
| 2 | Х6 | 1 | 2 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 900 | - |
| 3 | Х7 | 2 | 1 | 2 | 3 | 0 | 0 | 1 | 1500 | 750 |
| «0» | F(х) | -8 | -6 | -7 | -9 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | Х5 | 1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 0 | -0,5 | 50 | -100 |
| 2 | Х6 | 1 | 2 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 900 | 450 |
| 3 | Х3 | 1 | 0,5 | 1 | 1,5 | 0 | 0 | 0,5 | 750 | 1500 |
| «0» | F(х) | -1 | -2,5 | 0 | 1,5 | 0 | 0 | 3,5 | 5250 | |
| 1 | Х5 | 1,25 | 0 | 0 | 1,25 | 1 | 0,25 | -0,5 | 275 | |
| 2 | Х2 | 0,5 | 1 | 0 | 1,5 | 0 | 0,5 | 0 | 450 | |
| 3 | Х3 | 0,75 | 0 | 1 | 0,75 | 0 | -0,25 | 0,5 | 525 | |
| «0» | F(х) | 0,25 | 0 | 0 | 5,25 | 0 | 1,25 | 3,5 | 6375 |
Как видим, в последней строке все числа положительны, следовательно полученный план является оптимальным.
Для получения максимальной прибыли необходимо выпускать 450 ед. продукции П2 и 525 ед. продукции П3. Максимальная прибыль в этом случае составит 6375 ден. ед.
ЗАДАЧА № 2
Имеется 4 поставщика и 4 потребителя. Известны тарифы на перевозку единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю. Найти оптимальный план перевозки грузов от поставщиков к потребителям, обеспечивающий минимальные затраты.
| 11301220 | Потребители | ||||
| 320 | 280 | 210 | 320 | ||
| Поставщики | 420 | 5 | 8 | 1 | 5 |
| 180 | 2 | 6 | 5 | 7 | |
| 350 | 7 | 4 | 9 | 8 | |
| 270 | 6 | 2 | 7 | 9 | |
Так как количество груза у поставщиков (1220) превышает требуемое потребителями количество груза (1130) на 1220 – 1130=90 ед., то введем фиктивного потребителя с количеством груза 90 ед. и нулевыми тарифами на перевозку. Первоначальный опорный план составим методом двойного предпочтения, далее будем его улучшать методом потенциалов.В правом верхнем углу указаны тарифы на перевозку, в левом верхнем углу – сумма потенциалов, внизу по центру – количество перевозимого груза.
| 320 | 280 | 210 | 320 | 90 | Ui | |
| 420 | 4 5 | 1 8 | 1 1210 | 5 5210 | -3 0 | 0 |
| 180 | 2 2180 | -1 6 | -1 5 | 3 7 | -5 0 | -2 |
| 350 | 7 7140 | 4 410 | 4 9 | 8 8110 | 0 090 | 3 |
| 270 | 5 6 | 2 2270 | 2 7 | 6 9 | -2 0 | 1 |
| Vj | 4 | 1 | 1 | 5 | -3 |
В полученном плане перевозок для всех ячеек сумма потенциалов (Ui+ Vj) не превышает тарифы. Следовательно этот план перевозок является оптимальным и его нельзя улучшить.
Минимальные затраты на перевозку составят:
210*1+210*5+180*2+140*7+10*4+110*8+90*0+270*2=4 060 ден. ед.
ЗАДАЧА №3
Требуется расставить 5 рабочих по технологической цепочке так, чтобы время выполнения всего цикла операций было минимальным. Время, затрачиваемое каждым рабочим при выполнении любой операции приведено в таблице.
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | 5-я | |
| 1-й | 7 | 8 | 6 | 9 | 7 |
| 2-й | 8 | 7 | 9 | 8 | 7 |
| 3-й | 9 | 8 | 6 | 7 | 5 |
| 4-й | 7 | 6 | 8 | 9 | 8 |
| 5-й | 8 | 9 | 5 | 4 | 9 |
Решение
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | 5-я | |
| 1-й | 7 | 8 | 6 | 9 | 7 |
| 2-й | 8 | 7 | 9 | 8 | 7 |
| 3-й | 9 | 8 | 6 | 7 | 5 |
| 4-й | 7 | 6 | 8 | 9 | 8 |
| 5-й | 8 | 9 | 5 | 4 | 9 |
| qimin | 7 | 6 | 5 | 4 | 5 |
Zmin=4
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я |  5-я | |
| 1-й | 3 | 4 | 2 | 5 | 3 |
| 2-й | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 |
| 3-й | 5 | 4 | 2 | 3 | 1 |
| 4-й | 3 | 2 | 4 | 5 | 4 |
| 5-й |  4 | 5 | 1 | 0 | 5 |
| qimin | 3 | 2 | 2 | 1 |
Zmin=1 | 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | 5-я | |
| 1-й | 2 | 3 | 1 | 5 | 2 |
| 2-й | 3 | 2 | 4 | 4 | 2 |
| 3-й |  4 | 3 | 1 | 3 | 0 |
| 4-й | 2 | 1 | 3 | 5 | 3 |
| 5-й | 4 | 5 | 1 | 0 | 5 |
| qimin | 2 | 1 | 1 |
Zmin=1
| 1-я |  2-я | 3-я | 4-я | 5-я | |
| 1-й | 1 | 2 | 0 | 5 | 2 |
| 2-й | 2 | 1 | 3 | 4 | 2 |
| 3-й | 4 | 3 | 1 | 3 | 0 |
| 4-й | 1 | 0 | 2 | 5 | 3 |
| 5-й | 4 | 5 | 1 | 0 | 5 |
| qimin | 2 | 1 | 1 |
В конечном виде:
или:
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | 5-я | |
| 1-й | 7 | 8 | 6 | 9 | 7 |
| 2-й | 8 | 7 | 9 | 8 | 7 |
| 3-й | 9 | 8 | 6 | 7 | 5 |
| 4-й | 7 | 6 | 8 | 9 | 8 |
| 5-й | 8 | 9 | 5 | 4 | 9 |
Время выполнения цикла: 6+8+5+6+4=29 ед. времени.