Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним - предложение уже доказанное.
Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего.
Об апагогическом методе, или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Евклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза даёт Прокл, при своём приписывании их Платону; "Третий (апагогический) метод, - говорит он, - есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину". В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого.
Учёные математики, принадлежавшие к Академии распадались на две группы: на учёных, получивших своё математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Леодам Фасосский, Архит Тарентский и позднее Евдокс Книдский; к числу вторых - Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат, и во время старости Платона - Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский, Филипп Мендейский и Филипп Опунтский.
В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперёд мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал своё развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: Леоном в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона.
Создание в школе Платона философии математики должно было повести необходимым образом к разработке необходимой для неё истории математики. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, Аристотелем, школа перипатетиков в лице двух своих представителей, Эвдема Родосского и Теофраста Лесбосского. Нельзя не заметить, что в трудах по истории математики этих учёных заключается всё крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство наук, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до н.э., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира.
В деятельности Евклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным.
В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н.э., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской математики, об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.
Третьей фазой упадка греческой математики была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём "Собрании", этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.
Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н.э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.
Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних.
Пифагорейцы заложили основы геометрической алгебры. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония. Теэтет и Евклид установили классификацию квадратичных иррациональностей. Евдопс развил общую теорию пропорций - геометрический эквивалент теории положительных вещественных чисел - и разработал метод исчерпывания - зачаточную форму теории пределов.
Эти теории создали прочный каркас здания древнегреческой математики, фундаментом которого была геометрия; тем самым преодолевались трудности, связанные с фактом существования несоизмеримых величин. Чтобы избежать трудностей в обосновании математики, связанных с парадоксами бесконечности (Зенон, Аристотель), большинство ученых древней Греции предпочли отказаться от использования в математике идей бесконечности и движения или свести их применение к минимуму. В качестве такого минимума было принято утверждение о неограниченной делимости геометрических величин.
Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.
Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.
Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию.
В этих двух отношениях античная математика вполне современна.
1) Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского И.Н. Веселовского - М.: Физматгиз, 1959. - 456 с.
2) Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире - М.: Просвещение, 1967. - 101 с.
3) Глейзер Г.И. История математики в школе - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
4) Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. Изд. второе - М.: Просвещение, 1965. - 102-103, 236-238 с.
5) История математики Т 1: С древнейших времен до начала Нового времени / Под редакцией А.П. Юшкевича (в трёх томах): - М.: Наука, 1970. - 321 с.
6) Клайн М. Математика. Утрата определённости - М.: Мир, 1984. - 231с.
7) Крыситский В. Шеренга великих математиков - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981. - 31-34 с.
8) Рыбников К.А. История математики - М.: Просвещение, 1994. - 123 - 125 с.
9) Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Наука, 1976. - 23 с.