История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.
Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде “Начала”. Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.
Основные понятия: точка, прямая, плоскость основные образы; лежать между, принадлежать, движение[6].
Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома о параллельных (V постулат Евклида): через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом.
Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые. Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский с безупречной логической строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны.
Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг от друга пришли к одним результатам недоказуемости пятого постулата и к созданию неевклидовой геометрии.
Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Янош Бойяи (1802-1860)
Судьба открытия Лобачевского. В 2004 г. Казанский Государственный Университет отметил 200-летие своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно связано с Казанским Университетом и составляет его гордость[7].
Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807 году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-математическому факультету. В течении всей своей жизни он развивал свои идеи, которые излагал в трудах “Начала геометрии”, “Воображаемая геометрия” и других. За год до смерти он опубликовал свою работу “Пангеометрия” (1855г.).
Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее ректор Университета, при нем развернулось строительство Университетского прекрасного архитектурного ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись признания своих идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными математиками того времени. Идеи Н.И. Лобачевского далеко опередили свое время, но все развитие науки подготовило их неизбежное торжество. Через пятнадцать лет после его смерти его открытие стало общеизвестным и определило на столетие вперед развитие геометрической науки, оказало сильнейшее влияние на другие разделы математики, явилось одной из предпосылок глубокого преобразования физических представлений о пространстве и времени.
3. Особенности математического стиля мышления
Представляет интерес характеристика А.Я. Хинчиным математического мышления, а точнее, его конкретно-исторической формы – стиля математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие для всех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в других науках[8].
Во-первых, для математика характерна доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления).
Во-вторых, лаконизм, т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.
Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания, даже тогда, когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.
Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставится под законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность.
В-третьих, четкая расчлененность хода рассуждений. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода[9].
Для того чтобы сделать такие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия, которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри каждого такого случая те подлежащие рассмотрению подслучаи, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая обозначение (например, II 3, -это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, всё излагаемое относится только к этому случаю и подслучаю. Само собою разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собою.
В-четвертых, скрупулезная точность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания”.
Выделив основные черты математического стиля мышления, А.Я. Хинчин замечает, что математика (особенно математика переменных величин) по своей природе имеет диалектический характер, а следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно, в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного (конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, – писал Кант, – не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”[10].
Взаимодействие конкретного и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых и новых понятий и философских категорий. В античной математике (математике постоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которые первоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже в алгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин “базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, - “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно малая”, “производная” и т.п.