Математика и современный мир (стр. 2 из 5)
Вычитание, арифметическое действие, обратное сложению, т.е. нахождение одного из слагаемых (разности) по данной сумме двух слагаемых (уменьшаемому) и данному другому слагаемому (вычитаемому). Обозначается знаком - (минус).
Умножение, арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел а/b и с/d определяется равенством
Умножение двух рациональных чисел дает число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме a=а+bi и b=с+di, определяется равенством ab =ас - bd+ (a+bc) i.
Деление, арифметическое действие, обратное умножению; посредством деления по произведению a (делимому) и одному из множителей b (делителю), отличному от нуля, отыскивается другой множитель (частное). Знаки деления - две точки (a: b), горизонтальная черта
или наклонная черта (a/b). Деление дробных чисел a/b и c/d определяется равенством (a/b): (c/d) =ad/bc.Сумма, результат сложения.
Процент, сотая доля числа; обозначается знаком %.
Точка, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.
Степень, произведение нескольких равных сомножителей (напр., 24=2·2·2·2=16). Число, повторяющееся сомножителем, называют основанием степени; число, показывающее, сколько раз повторяется сомножитель, называют показателем степени. Действие нахождения степени называют возведением (возвышением) в степень. Понятие степень обобщается также на случай произвольного (рационального или иррационального, а также комплексного) показателя.
Равенство, отношение взаимной заменяемости объектов, которые именно в силу этой заменяемости и считаются равными (а=b). Отношение равенства обладает свойствами рефлексивности (каждый объект равен самому себе), симметричности (если а=b, то b=a) и транзитивности (если a=b, а b=c, то a=c). Буквенное равенство, верное для всех числовых значений входящих в него букв, называется тождеством.
Величина, обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т.п. Выбрав одну из величин данного рода за единицу измерения, можно выразить числом отношение любой другой величины того же рода к единице измерения.
Сравнение, соотношение между двумя целыми числами a и b, означающее, что разность a-b этих чисел делится на заданное целое число m, называемое модулем сравнения; пишется a є b (mod m).
Понятие множества, простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т.д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М.
Уравнение, математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями). Бывают алгебраические уравнения, например х2=2, и неалгебраические уравнения, называемые трансцендентными, например 2х=х.
Неравенство, соотношение между числами, указывающее, какое из них больше или меньше другого.
Корень,
1) корень степени n из числа a - всякое число x. Действие нахождения корня называется извлечением корня.2) Корень уравнения - число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.
Логарифм данного числа N при основании а, показатель степени у, в которую нужно возвести число а, чтобы получить N; таким образом, N = ay. Логарифмом обозначается обычно logaN. Логарифм с основанием е = 2,718... называется натуральным и обозначается ln N. Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg N. Равенство у=logax определяет логарифмическую функцию. Основные свойства логарифма позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления.
Функция, 1) зависимая переменная величина. Соответствие y=f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции). Такое соответствие может быть задано различным образом, например формулой, графически или таблицей.
График функции, y=f (x) состоит из точек, абсциссы которых равны значениям x, а ординаты - соответствующим значениям y.
Тригонометрические функции, функции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec). Их можно определить как отношения длины r и проекций а и b на оси координат радиуса-вектора, образующего с положительным направлением оси Ох угол (или отсекающего дугу) a. Именно: sin a=b/r, cos a=a/r, tg a=b/a, сtg a=a/b, sec a=r/а, cosec a=r/b.
Группа, понятие современной математики. Возникло из рассмотрения совокупности операций, производимых над какими-либо объектами и обладающих тем свойством, что результат последовательного применения двух или большего числа операций из этой совокупности равносилен какой-то одной операции из этой совокупности. Пример: умножение на рациональные числа (умножение сначала на m, а потом на n равносильно умножению на mn).
Кольцо, понятие современной алгебры - совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами. Напр., кольцо целых чисел.
3. Что такое математический язык?
Всякое точное объяснение того или иного явления - математично и, наоборот, все, что точно - математика. Любое же точное описание - это описание на соответствующем математическом языке. Классический трактат Ньютона "Математические начала натуральной философии", произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им "языка Природы", дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз. Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы... Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики.
История математики знает две великие революции, каждая из которых полностью меняла её облик и внутреннее содержание. Их движущей силой была "невозможность жить по старому", т.е. невозможность адекватно интерпретировать актуальные проблемы точного естествознания на языке существующей математики. Первая из них связана с именем Декарта, вторая с именами Ньютона и Лейбница, хотя, конечно же, они отнюдь не сводятся только к этим великим именам. По словам Гиббса, математика - это язык, и сутью этих революций была глобальная перестройка всей математики на новой языковой основе. В итоге первой революции, языком всей математики стал язык коммутативной алгебры, вторая же заставила её говорить языком дифференциального исчисления.
Математики отличаются от "нематематиков" тем что, обсуждая научные проблемы или решая практические задачи, говорят между собой и пишут работы на особом "математическом языке" - языке специальных символов, формул и т.п.
Дело в том, что на математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: "От перемены мест слагаемых сумма не меняется" - так звучит переместительный закон сложения чисел. Математик пишет (или говорит): a + b = b + a
А выражение: "Путь S, пройденный телом со скоростью V за период времени от начала движения tн до конечного момента tк " запишут так: S = V · (tк - tн)
Или такую фразу из физики: "Сила равна произведению массы на ускорение" запишут: F = m · a
Он переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий и иные символы. Все эти записи экономны, наглядны и удобны для применения.
Возьмем другой пример. На обычном языке говорят: "Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и записать в числителе дроби, а знаменатель оставить тот же без изменения и записать в знаменатель". Математик осуществляет "синхронный перевод" на свой язык:
А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон: a (b + c) = ab + ac