Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: "Чтобы умножить число a на сумму чисел b и c, надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое: b, потом c, и полученные произведения сложить".
Во всяком языке есть своя письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математике. А устная речь - это употребление специальных терминов или словосочетаний, например: "слагаемое", "произведение", "уравнение", "неравенство", "функция", "график функции", "координата точки", "система координат" и т.п., а также различные математические утверждения, выраженные словами: "Число а делится на 2 тогда и только тогда, когда оканчивается на 0 или четную цифру".
Говорят, что культурный человек, кроме родного языка должен владеть ещё хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен ещё уметь говорить, писать и думать и на математическом языке, поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз уже убеждались, "говорит" окружающая действительность. Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить, как говорят, его алфавит, синтаксис и семантику, т.е. правила написания и смысл, заложенный в написанном. И, конечно же, в результате такого изучения представления о математическом языке и предмете будут постоянно расширяться.
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод[1] - один из способов дедуктивного построения научных теорий. В основании аксиоматически построенной теории лежат аксиомы, т.е. предложения, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения теории выводятся из аксиом (т.е. доказываются, являются теоремами) на основании логических правил вывода и правил определения предложений, допускаемых в данной теории. Понятие аксиоматической теории было уточнено путем введения определения формальной системы, состоящей из языка системы, аксиом системы, правил вывода системы. Язык системы состоит из алфавита (перечня элементарных символов системы) и синтаксиса (правил, по которым из элементарных символов строятся формулы, предложения системы). Правила вывода позволяют получать из аксиом теоремы.
Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике используют два вида умозаключений: индукция - метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок и дедукция - способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.
Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых. Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах. Дедуктивная система изложения сводится: к перечислению основных понятий, к изложению определений, к изложению аксиом, к изложению теорем, к доказательству этих теорем:
аксиома - утверждение, принимаемое без доказательств, теорема - утверждение, вытекающее из аксиом, доказательство - составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.
История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.
Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э) в непревзойденном по своей значимости труде - "Начала". Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.
Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома - аксиома о параллельных (V постулат Евклида). Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, когда Н.И. Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток.
В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом. Аксиому о параллельных Лобачевский заменил аксиомой: "Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые". Из новой системы аксиом он с безупречной логической строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны.
За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия превратилась в совокупность разнообразных теорий.
Теперь попытаемся объяснить, что надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена.
Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы (в случае групп - это отношение хτу = z между тремя произвольными элементами), затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Построить аксиоматическую теорию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их "природы").
Основные типы структур.
Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть по своей природе весьма разнообразными. То отношение, которое фигурирует в групповых структурах, называют "законом композиции": это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых - такая структура называется алгебраической структурой (например, структура поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами: сложение и умножение действительных чисел определяют структуру поля на множестве этих чисел).
Другой важный тип представляют собой структуры, определенные отношением порядка - это отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего мы выражаем словами "х меньше или равно у" и которое мы будем обозначать в общем случае хRу. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы: а) для всех х хRх; b) из соотношений хRу, уRх следует х = у, с) из соотношений хRу, уRz следует хRz.
Очевидным примером множества, снабженного такой структурой, является множество целых чисел (или множество действительных чисел), причем здесь знак Rзаменяется на ≤. Но надо заметить, что мы не включили в число аксиом аксиому, отражающую следующее свойство, которое кажется неотделимым от того понятия порядка, каким мы пользуемся в обыденной жизни: "каковы бы ни были х, у, имеет место или хRу или уRх". Другими словами, не исключается случай, когда два элемента могут оказаться несравнимыми.
На первый взгляд это может показаться странным, но легко привести очень важные примеры структур порядка, для которых имеет место именно это обстоятельство. Именно с таким положением вещей мы сталкиваемся, когда X, Y означают подмножества некоторого множества, а ХRY означает "X содержится в Y", или когда х, у являются натуральными числами, а хRу означает "х делит y", или, наконец, когда f (х) и g (x) являются действительными функциями, определенными на интервале a ≤ x ≤ b, аf (х) Rg (х) означает: "каково бы ни было х, f (х) ≤ g (х)". Эти примеры в то же время показывают, сколь велико разнообразие областей, где появляются структуры порядка.
Третий тип структур - топологических структурах (топологии) [2], в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве.
В каждой из представленных (порождающих) структур господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия.
Именно таким образом теория групп, помимо общих положений, которые справедливы для всех групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теориюконечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем хτу = уτх, каковы бы ни были х, у), а также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те, в которых любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядоченными. Среди этих последних особо изучают множества, называемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чисел, каждое подмножество имеет "наименьший элемент"). Подобная же градация существует и для топологических структур.