Смекни!
smekni.com

Математическая статистика (стр. 2 из 3)

2.2 Выборочное распределение

Рассмотрим реализацию выборки на одном элементарном исходе

— набор чисел
,
,
. На подходящем вероятностном пространстве введем случайную величину
, принимающую значения
,
,
с вероятностями по
(если какие-то из значений совпали, сложим вероятности соответствующее число раз). Таблица распределения вероятностей и функция распределения случайной величины
выглядят так:

Распределение величины

называют эмпирическим или выборочным распределением. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины
и введем обозначения для этих величин:

Точно так же вычислим и момент порядка

В общем случае обозначим через

величину

Если при построении всех введенных нами характеристик считать выборку

,
,
набором случайных величин, то и сами эти характеристики —
,
,
,
,
— станут величинами случайными. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.

Причина использования характеристик распределения

для оценки характеристик истинного распределения
(или
) — в близости этих распределений при больших
.

Рассмотрим, для примера,

подбрасываний правильного кубика. Пусть
— количество очков, выпавших при
-м броске,
. Предположим, что единица в выборке встретится
раз, двойка —
раз и т.д. Тогда случайная величина
будет принимать значения 1,
, 6 с вероятностями
,
,
соответственно. Но эти пропорции с ростом
приближаются к
согласно закону больших чисел. То есть распределение величины
в некотором смысле сближается с истинным распределением числа очков, выпадающих при подбрасывании правильного кубика.

Мы не станем уточнять, что имеется в виду под близостью выборочного и истинного распределений. В следующих параграфах мы подробнее познакомимся с каждой из введенных выше характеристик и исследуем ее свойства, в том числе ее поведение с ростом объема выборки.

2.3 Эмпирическая функция распределения, гистограмма

Поскольку неизвестное распределение

можно описать, например, его функцией распределения
, построим по выборке «оценку» для этой функции.

Определение 1.

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке

объема
, называется случайная функция
, при каждом
равная

Напоминание: Случайная функция

называется индикатором события

. При каждом
это — случайная величина, имеющая распределение Бернулли с параметром
. почему?

Иначе говоря, при любом

значение
, равное истинной вероятности случайной величине
быть меньше
, оценивается долей элементов выборки, меньших
.

Если элементы выборки

,
,
упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе), получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом:

Здесь

Элемент

,
, называется
-м членом вариационного ряда или
-й порядковой статистикой.

Пример 1.

Выборка:

Вариационный ряд:

Рис. 1. Пример 1

Эмпирическая функция распределения имеет скачки в точках выборки, величина скачка в точке

равна
, где
— количество элементов выборки, совпадающих с
.