Математические методы в теории принятия решений (стр. 2 из 3)
f (x) Оценка альтернативы x (с точки зрения принимающего решение)
оценка альтернативы есть некоторый критерий, который может быть позитивным и негативным.
Позитивный критерий такой, каким мы хотим увеличить, а негативный наоборот, уменьшить. Принцип оптимальности алтернативы называется оптимальной если она максимизирует позитивный критерий (или миминизирует негативный).
x*єx ↔f (x*) =maxf (x) позитивный критерий
xєX
f (x*) =minf (x) негативный критерий
xєX
Учет неопределенных пассивных условий
Неопределенные факторы, закон распределения которых неизвестен, являются наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений.
В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":
Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов Wir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца.
Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия Vj не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.
Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;
с появлением состояния Vj необходимо считаться;
реализуется лишь малое количество решений;
не допускается никакой риск.
Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:
 |
Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца.
Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
вероятность появления состояния Vj известна и не зависит от времени;
принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;
допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:
Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Vj вместо варианта Ui выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.
Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [Wij] вычитается из наибольшего результата max Wij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей Wir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.
Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:
,где r - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].
Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [Wij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы Wir этого столбца.
При r = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r = 0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r = 0.5 принимается в качестве средней точки зрения.
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;
с появлением состояния Vj необходимо считаться;
реализуется лишь малое количество решений;
допускается некоторый риск.
Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:
Правило выбора, соответствующее этому критерию, формулируется следующим образом: матрица решений [Wij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.
При z=1 критерий преобразуется в критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.
Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
о вероятности появления состояния Vj ничего не известно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;
принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;
допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
Общие рекомендаций по выбору того или иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится волевым решением выделять некоторое окончательное решение.
Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние
субъективного фактора. Кроме того, в области технических задач различные критерии часто приводят к одному результату.
Критерий наиболее вероятного исхода.
Этот критерий предполагает замену случайной ситуации детерминированной путем замены случайной величины прибыли (или затрат) единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации. Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:
критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимо мала;
применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей возможного исхода равны между собой.
Задание 1
Найти оптимальный вариант электростанции по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица с показателями 0,8 и 0,3 и Сэвиджа по заданной таблице эффективностей:
| СредаВарианты | В1 | В2 | В3 | В4 |
| А1 | 10 | 8 | 4 | 11 |
| А2 | 9 | 9 | 5 | 10 |
| А3 | 8 | 10 | 3 | 14 |
| А4 | 7 | 7 | 8 | 12 |
Таблица эффективностей
Решение:
| В1 | В2 | В3 | В4 | Критерий Вальда | Крит. Лапласа | Критерий Гурвица | |
| А1 | 10 | 8 | 4 | 11 | 4 | 8,25 | 5,4 8,9 |
| А2 | 9 | 9 | 5 | 10 |  5 | 8,25 | 6 8,5 |
| А3 | 8 | 10 | 3 | 14 | 3 | 8,75 | 5,2 10,7 |
| А4 | 7 | 7 | 8 | 12 | 7 | 8,5 | 8 10,5 |
| 10 | 10 | 8 | 14 |
Критерий Лапласа:
L (1) =1/4*33=8,25
L (2) =1/4*33=8,25
L (3) =1/4*35=8,75
L (4) =1/4*34=8,5
Вывод: по критерию Лапласа оптимальным решением являет выбор 3 типа электростанции.
Критерий Вальда: по критерию Вальда оптимальным решением является выбор 4 типа электростанции.
Критерий Гурвица:
Н (1) =0,8*4+ (1-0,8) *11=5,4
Н (2) =0,8*5+ (1-0,8) *10=6
Н (3) =0,8*3+ (1-0,8) *14=5,2
Н (4) =0,8*7+ (1-0,8) *12=8
Н (1) =0,3*4+ (1-0,3) *11=8,9
Н (2) =0,3*5+ (1-0,3) *10=8,5
Н (3) =0,3*3+ (1-0,3) *14=10,7
Н (4) =0,3*7+ (1-0,3) *12=10,5
Вывод: по критерию Гурвица оптимальным решением является выбор 3 и 4 типа электростанции.