Математические методы описания моделей конструкций РЭА (стр. 2 из 3)
Декартово произведение двух множеств используют для исследования всевозможных паросочетаний. Декартово произведение нескольких множеств
представляет собой множество r-строчек, каждая из которых образуется упорядоченной композицией элементов исходных множеств, т. е. zS = (x1f, x2j, ..., xrk). Операция декартова произведения множеств не обладает переместительным свойством, т. е. X
Y 
Y X.Разбиением множествах называют такое множество множеств {Xj}, где j
J, а J — некоторое множество индексов j, при котором:1) Xj Xпри всех j
J;2) Xj
0 при всех j J; 3) Xi 
Xj=0 при j
J; 4)
Xj = X.Ряд прикладных задач разбиения множества конструктивных элементов высокого уровня на элементы более низкого уровня (например, задача разбиения множества микросхем блока РЭА на отдельные субблоки) сводится к операциям разбиения множеств. Конкретные решения подобных задач рассмотрены в гл. 4.
Понятие пустого множества 0 аналогично нулю в алгебре чисел. Действительно, если для любого числа а справедливо а
0 = 0 и а+0 = а, то для любого. множества Xсправедливо X 0 = 0 и X 
0 =Х.Введем понятие множества I, соответствующее единице в алгебре чисел. Такое множество должно обладать тем свойством, что пересечение с ним любого множества Xдает в результате это же множество X, т. е. X I = Xпо аналогии с а
1 = а.Множество I, обладающее этим свойством называют универсальным или единичным множеством. В общем случае, если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества I, то это самое большое множество и является универсальным.
В конкретных приложениях в качестве универсального множества могут использоваться различные общие подмножества. Например, среди множества комплектов конструкторских документов на изготовление изделий РЭА полный комплект конструкторских документов является универсальным множеством этих документов или когда при рассмотрении множеств микросхем отдельных субблоков РЭА выделяют универсальное множество таких микросхем на всю данную радиоэлектронную аппаратуру в целом.
Универсальное множество обладает свойством, не имеющим аналога в алгебре чисел, а именно для любого множества Xсправедливо соотношение X I= I.
В объединение этих множеств должны входить как элементы множества X, так и дополняющие элементы множества I. Но, в свою очередь, все элементы множества Xвходят в универсальное множество I, поэтому и объединение X Iравно универсальному множеству I.
На основании этих рассуждений легко определить дополнение множества Xкак
. Двойное дополнение 
= X.С помощью операции дополнения можно в удобном виде представить разность множеств
т. е.
Многие определения теории множеств удобно записывать в виде математических выражений, содержащих некоторые логические символы. К числу таких символов относится символ следствия (импликации)
. Например, запись Х 
У и Y Z X Z(транзитивность) читают так: если X Y и У Z, то X Z. Другие символы связаны с применением кванторов общности и существования. Квантор общности — это операция, которая сопоставляет Р(х) высказыванию: «Все х обладают свойством Р(х)». Для этой операции употребляют знак 
(перевернутое латинское А). Например, запись х(Р(х) Q(x)) свидетельствует о том, что все объекты, обладающие свойством Р(х), обладают и свойством Q(x).Наряду с квантором общности в теории множеств существует понятие квантора существования, обозначаемого
(перевернутая латинская буква Е). Например, запись 
утверждает, что существует по крайней мере один объект х, обладающий одновременно свойствами Р(х) и Q(x), т. е. Р(х) и Q(x) пересекаются: Р(х)
Q(x) 0.В теории множеств часто пользуются понятием логической эквивалентности, обозначаемой
. Например, запись 
нужно читать: «Выполнение условий X Y и Y X, тoже самое что X= У».
Пример 1. Доказать с помощью тождественных преобразований равенство (X У) Z= (X Z) (У Z) и показать с помощью диаграмм его коммутативные свойства.
Решение. Это равенство известно как тождество дистрибутивности операций над множествами. Чтобы убедиться в справедливости этого тождества, положим
. Тогда одновременно 
и 
, что возможно в случае, когда 
или 
, т. е. 
.Отсюда можно заключить, что 
.Аналогично доказывается соотношение 
. В соответствии с определением равенства множеств приходим к требуемому тождеству.На рис. 4, а показан набор исходных множеств X, У и Z, а на рис. 4, б, в— комбинация множеств в соответствии с выражениями
и 
.