Математические методы описания моделей конструкций РЭА (стр. 3 из 3)
Внутренние области, ограниченные жирными линиями, совпадают. Можно проследить, что операции над множествами по их объединению или пересечению обладают также коммутативностью и ассоциативностью.
Отношения множеств. Виды отношений и их свойства
Элементы множества, как правило, находятся в каком-либо отношении друг относительно друга. Эти отношения можно задать в виде неполных предложений — предикатов, например, «меньше, чем...», «больше, чем ...», «эквивалентно», «конгруэнтно» и т. п.
Тот факт, что некоторый элемент
находится в каком-либо отношении к элементу того же множества xj, математически записывают как XiRxj, где R— символ отношения.Отношение из двух элементов множества Xназывают бинарным. Бинарные отношения множеств Xи Yпредставляют собой некоторое множество упорядоченных пар (х, у), образованных декартовым произведением Xх Y. В общем случае можно говорить не только о множестве упорядоченных пар, но и о множестве упорядоченных троек, четверок элементов и т. д., т. е. о парных отношениях, получаемых в результате декартова произведения
, где п — размерность n-строчек.Рассмотрим основные виды отношений — отношения эквивалентности, порядка и доминирования.
Некоторые элементы множеств можно считать эквивалентными в том случае, когда любой из этих элементов при определенных условиях можно заменить другим, т. е. данные элементы находятся вот-ношении эквивалентности. Примерами отношений эквивалентности являются отношения параллельности на множестве прямых какой-либо плоскости; подобия на множестве треугольников; принадлежности к одной функциональной группе микросхем или к одному классу типоразмеров и т. д.
Термин «отношение эквивалентности» будем применять при выполнении следующих условий:
1) каждый элемент эквивалентен самому себе;
2) высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения того, какой из элементов рассматривается первым, а какой вторым;
3) два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.
Введем для обозначения эквивалентности символ ~, тогда рассмотренные условия можно записать следующим образом:
1) х ~ х (рефлективность);
2) х ~ у 
у ~ х (симметричность);
3) х ~ у и у ~ z х ~ z(транзитивность).
Следовательно, отношение Rназывают отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пусть некоторому элементу х 
X эквивалентно некоторое подмножество элементов А 
X, тогда это подмножество образует класс эквивалентности, эквивалентный х. Очевидно, что все элементы одного и того же класса эквивалентности эквивалентны между собой (свойство транзитивности). Тогда всякий элемент х Х может находиться в одном и только одном классе эквивалентности, т. е. в этом случае множество Xразбивается на некоторое непересекающееся подмножество классов эквивалентности
, где J— некоторое множество индексов.Таким образом, каждому отношению эквивалентности на множестве Xсоответствует некоторое разбиение множества Xна классы
.Часто сталкиваются с отношениями, которые определяют некоторый порядок расположения элементов множества. Например, в процессе автоматизированного конструирования требуется вводить множество одних исходных данных раньше или позже, чем множество других. При этом может оказаться, что элементы одного множества больше или меньше элементов другого и т. д. Во всех этих случаях можно расположить элементы множества Xили группы элементов в некотором порядке (например, в виде убывающей или возрастающей последовательности), т. е. ввести отношение порядка на множестве X.
Различают отношения строгого порядка, для которых применяют символы
и отношения нестрогого порядка, где используют символы 
. Эти отношения характеризуются следующими свойствами:для отношения строгого порядка:
х <X— ложно (антирефлексивность);
х<У, а У<х — взаимоисключаются (несимметричность);
x<у и у <x 
x<z— (транзитивность);
для отношения нестрогого порядка:
х 
X— истинно (рефлексивность);
х у и у х х = у — (антисимметричность);
х у и у z xу z— (транзитивность).
Множество Xназывают упорядоченным, если любые два элемента х и у этого множества сравнимы, т. е. если для них выполняется одно из условий: х < у, х = у, у < х.
Упорядоченное множество называют кортежем. В общем случае кортеж — это последовательность элементов, т. е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место. Элементы упорядоченного множества называются компонентами кортежа. Примерами кортежа может служить упорядоченная последовательность чисел арифметической или геометрической прогрессий, последовательность технологических операций при изготовлении какого-либо радиоэлектронного изделия, упорядоченная последовательность установочных позиций печатной платы для закрепления конструктивных элементов.
Во всех этих множествах место каждого элемента вполне определено и не может произвольно изменяться.
При обработке конструкторской информации на ЭВМ часто используют отношения доминирования. Говорят, что х Xдоминирует над у X, т. е. х>>у, если элемент х в чем-либо превосходит (имеет приоритет) элемент у того же множества. Например, под х можно понимать один из списков данных, который должен поступить на обработку первым. При анализе нескольких конструкций РЭА какой-либо из них должен быть отдан приоритет, так как эта конструкция обладает лучшими, с нашей точки зрения, свойствами, чем другие, т. е. конструкция х доминирует над конструкцией у.
Свойство транзитивности при этом не имеет места. Действительно, если, например, конструкцию х по каким-либо одним параметрам предпочли конструкции у, а конструкцию у по каким-либо другим параметрам предпочли конструкции z, то отсюда еще не следует, что конструкции х должно быть отдано предпочтение по сравнению с конструкцией г.
Отображение множеств. Одним из основных понятий теории множеств является понятие отображения. Если заданы два непустых множества Xи Y, то закон, согласно которому каждому элементу x
Xставится в соответствие элемента 
, называют однозначным отображением Xв Yили функцией, определенной на X и принимающей значение на Y.На практике приходится иметь дело и с многозначными отображениями множества Xна множестве Y, которые определяют закон, согласно которому каждому элементу х Xставится в соответствие некоторое подмножество
, называемое образом элементов. Возможны случаи, когда Гх = 0.Пусть задано некоторое подмножество А X. Для любого х А образом х является подмножество
. Совокупность всех элементов Y, являющихся образами для всех х в А, назовем образом множества А и будем обозначать ГА. В этом случае 