Математические методы описания моделей конструкций РЭА (стр. 1 из 3)
Министерство образования Республики Беларусь
Реферат на тему
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ МОДЕЛЕЙ КОНСТРУКЦИЙ РЭА
Минск 2010
ВВЕДЕНИЕ
Применение вычислительных машин на этапе конструирования РЭА по-новому ставит задачи разработки математических моделей и методов их анализа и оптимизации. Отличительной чертой в постановке этих задач является максимальная формализация математических описаний и использование для отыскивания оптимальных решений аппарата математического программирования.
В общем случае под математической моделью конструкции понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в реальных условиях. Процесс составления математических моделей называют математическим моделированием. В основу математического моделирования положен принцип идентичности формы уравнений и однозначности соотношений между переменными в уравнениях оригинала и модели, т. е. принцип аналогии объекта с моделью. При составлении математических моделей могут использоваться различные математические средства описания объекта — дифференциальные или интегральные уравнения, теория множеств, теория графов, теория вероятностей, математическая логика и др. Особое место в математическом моделировании занимает квазианалоговое моделирование, суть которого состоит в изучении не исследуемого объекта, а объекта иной физической природы, но описываемого математическими соотношениями, эквивалентными относительно получаемого результата.
В данной главе рассмотрены вопросы применения теории множеств и теории графов, а также методов конечно-разностных аппроксимаций для описания конструкций РЭА и моделирования протекающих в них процессов.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Определения. Математические методы, положенные в основу алгоритмических процессов конструирования РЭА, а также процессы организации входной и выходной информации о проектируемом объекте широко используют понятия и символы теории множеств.
Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, называемых элементами данного множества, обладающих каким-либо общим для множества свойством. Как основное понятие теории понятие множества не подлежит логическому определению.
Элементы множества могут иметь самую различную природу. Например, можно говорить о множестве микросхем, входящих в определенную конструкцию РЭА, или о множестве чертежей, входящих в полный комплект конструкторской документации для производства какого-либо изделия, и т. д.
Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: X, Y, Z, а элементы множеств — соответствующими строчными буквами того же алфавита: х, у, zили строчными буквами с индексами: х1,x2,…y1, у2,… Равенство X = {x1, x2, ..., хп} свидетельствует о том, что элементы х1, х2, ..., хпявляются элементами множества X.
Множество можно задавать не только перечислением его элементов, но и с помощью описательного способа, указывающего характерное свойство, которым обладают все элементы этого множества. Например, если во всем множестве X микросхем электронного блока сложной радиоаппаратуры есть некоторое множество А гибридных интегральных схем, то это можно записать следующим образом: А = {х 
Х:х — гибридная интегральная схема}, что читается так: множество А состоит из элементов х множества X, обладающих тем свойством, что х является гибридной интегральной схемой. Здесь введено новое обозначение , означающее, что объект х является элементом множества X. Если же некоторый объект у не принадлежит множеству Х то это условие записывают в виде у 
X.
В том случае, когда не вызывает сомнения, из какого множества берутся элементы х, принадлежность их к множеству X можно не указывать. Например, если известно, что множество гибридных интегральных схем входит во множество микросхем того же самого электронного блока, то можно записать А — {х : х — гибридная интегральная схема}.
Число элементов множества X = { 
} называют мощностью этого множества и обозначают прямыми скобками, например |Х| = п. Если число элементов множества X конечно, то такое множество называют конечным. В противном случае множество будет бесконечным. В теории множеств вводится понятие пустого множества, в котором не содержится ни одного элемента. Пустое множество обозначают специальным символом Ø. Так, например, если множество X пусто, то пишут X = Ø.
Последовательность из п элементов множества называют n-строкой. В отличие от обычного множества, где порядок элементов безразличен, в n-строке обязательно задается их определенная последовательность.
Множество X равно множеству Y, если оба эти множества состоят из одних и тех же элементов. Если множество X полностью содержится во множестве Yи при этом |Х|<|Y|, то говорят, что множество Xявляется подмножеством множества Y:X 
Y. В случае когда X Yиодновременно Y X, имеет место равенство X=Y, т. е. множества X и У совпадают. Символическая запись X
Yозначает, что множество Xне совпадает с множеством Y.Действия над множествами. Над множествами, как и над другими математическими величинами, можно производить некоторые действия, например выполнять пересечение множеств, их объединение, вычитание, находить дополнение, декартово произведение и др.
Пересечением множеств Xи Yназывают новое множество Р, которое образуется из элементов, одновременно общих и множеству X, и множеству Y. На рис. 1, а множество Р показано заштрихованной областью.
Рисунок 1
Пересечение множеств Xи Yзаписывают следующим образом: Р = X 
Y. Если рассматривают пересечение нескольких множеств Х1, Х2, ..., Хn,….,Хг,то математическая запись имеет вид
где r— число пересекающихся множеств.
Операция пересечения множеств подчиняется переместительному закону, т. е. Р = X Y = Y X. Если множества X и Yне пересекаются, то Р = X Y= Ø.
С помощью операции пересечения множеств можно, например, выявить множество типоразмеров конструктивных элементов, общих печатным платам X и Y, или множество межплатных соединений для печатных плат X и Y, т. е. выявить любые множества, обладающие какими-либо общими свойствами.
Объединение множеств ХиУ приводит к образованию нового множества Q, которое получается из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y. На рис. 1,6 такое множество показано заштрихованной областью.
Математически объединение множеств X и Yзаписывают следующим образом: Q= XU У. Если рассматривают объединение нескольких множеств, то запись примет вид
где r— число объединяемых множеств. Операция объединения множеств, так же как и операция пересечения, подчиняется переместительному закону.
С помощью этой операции можно подсчитать, например, число типоразмеров конструктивных элементов для печатных плат X и Yили общее число внешних электрических соединений печатных плат X и Y.
Разность множеств Х и Y есть новое множество R, которое образуется из элементов множества X, за исключением элементов, принадлежащих одновременно множеству Y. На рис. 2, а множество Rпоказано в виде заштрихованной области. Математически разность множеств X и Yзаписывают следующим образом: R= X/Y.
С помощью этой операции можно выявить сугубо индивидуальные признаки объекта, например число типоразмеров конструктивных элементов, принадлежащих только плате X.
Дополнением множествах по отношению к множеству Yназывают множество X, состоящее из элементов множества Y, не принадлежащих множеству X. На рис. 2, б множество X показано в виде заштрихованной области. С помощью операции дополнения множества можно выявить все дополнительные, недостающие признакипроектируемого изделия и подвергнуть их анализу.
Рисунок 2
Рисунок 3
Декартовым произведением множеств X и Yназывают множество Z упорядоченных пар (х, у), образованных элементами множеств X и Y : Z = X 
Y. На рис. 3 декартово произведение множеств Х1и Y2показано в виде заштрихованной области множества паросочетаний.