Математический анализ (стр. 2 из 4)

l_n(x) = g₀ + (x-x₀)[x₀;x₁] + (x-x₀)(x-x₁)[x₀;x₁;x₂] + … +

+(x-x₀)(x-x₁)∙ …∙(x-x_n-1)[x₀;x₁;x₂;…;x_n]

Подставив в формулу g_iи x_i получим:

Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y₁=0.604

Задача 7.

Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x₃ в виде функций:

где ∆ⁿg(0) и g(x_n) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x₀ и ординаты g(x_n) = g_n из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

Решение

Для вычисления производной воспользуемся оператором

дифференцирования:

Выражение для вычисления производной в точке x₀ имеет вид:

Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x₃, применим оператор сдвига:

Для того, чтобы перейти от функции к функции воспользуемся формулой:

Получим выражения для ∆²y₀:

∆⁵y₀ = -y₀ + 5y₁ – 10y₂ + 10y₃ – 5y₄ + y₅

∆⁴y₀ = y₀ - 4y₁ + 6y₂ - 4y₃ + y₄

∆³y₀ = -y₀ + 3y₁ – 3y₂ + y₃

∆²y₀ = y₀ - 2y₁ + y₂

Подставим эти значения в функцию:

Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

при x₃ = 1.8

Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.

Задача 8

Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (P_i(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.

Решение.

Составим таблицу степеней xи xy

i	x	y	x2	x3	x4	x5	x6	xy	x2y	x3y
1	0.3	-0.02	0.09	0.027	0.0081	0.00243	0.000728999	-0.006	-0.0018	-0.00054
1	0.8	0.604	0.64	0.512	0.4096	0.32768	0.262144	0.4832	0.38656	0.309247
1	1.3	0.292	1.69	2.197	2.8561	3.71293	4.8268	0.3796	0.493479	0.641523
1	1.8	-0.512	3.24	5.832	10.4976	18.8956	34.0122	-0.9216	-1.65888	-2.98598
1	2.3	-1.284	5.29	12.167	27.9840	64.3634	148.035	-2.9532	-6.79236	-15.6224
1	2.8	-2.04	7.84	21.952	61.4656	172.103	481.89	-5.712	-15.9936	-44.782
6	9.3	-2.96	18.79	42.687	103.22	259.405	669.026	-8.73	-23.5666	-62.4401

Составим системы уравнений:

Откуда a₀ = -0.93621; a₁ = 3.89576; a₂ = -2.8954; a₃ = 0.488001

Аппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:

P₃(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x² + 0.488001x³

Откуда a₀ = -0.0710314; a₁ = 0.989486; a₂ = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:

P₂(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x²

Откуда a₀ = 0.974118; a₁ = -0.946742;

Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:

P₁(x) = 0.974118 – 0.946742x

6a₀ = -2.96

Откудаa₀ = -0.493333;

Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:

P₀(x) = -0.0493333

Изобразим полученные полиномы на графике:

Задача 9

Для аппроксимирующего полинома третьей степени P₃(x) получить аналитические выражения ΔⁿP₃(x), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.

Решение

Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:

P₃(x)

Δ²P₃(x)