Математический анализ (стр. 4 из 4)

x₁ = (y₀,y₁,y₂); x₂=(y₃,y₄,y₅); x₃=(h,x₀,0).

На базе линейно независимой системы векторов x₁, x₂, x₃ методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:

y₁ = (y₁₁,y₂₁,y₃₁); y₂=(y₁₂,y₂₂,y₃₂); y₃=(y₁₃,y₂₃,y₃₃).

На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y₁,y₂, y₃). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T^-1 и транспонированную T’. Найти произведение T^-1 · T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.

Решение

Исходные векторы x₁ = (-0.02,0.604,0.292); x₂=(-0.512,-1.284,-2.04);

x₃=(0.5,0.3,0).

Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:

det (A·A^T) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.

Найдем векторы v₁, v₂, v₃

v₁ = x₁

v₂ = x₂ + a₂₁·v₁

v₃ = x₃ + a₃₂·v₂ + a₃₁·v₁

v₁ = (-0.02, 0.604, 0.292);

v₂ = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).

Матрица T:

det(T) = -1

Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T^-1. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.

Задача 24

Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у₁, у₂, у₃ из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р₁, Р₂, Р₃), саму матрицу А и ей обратную А_-1. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.

Решение

Найдем проекторы матрицы А:

Найдем обратную матрицу А^-1:

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

-x³-6x²-11x-6=0;

Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы

x₁= -1; x₂= -2; x₃= -3

Задача 25

Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.

Решение