Математическое моделирование в задачах расчета и проектирования систем автоматического управления (стр. 1 из 2)
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Калужский филиал
Кафедра “САУ и Электротехники”
ЭИУ3-КФ
Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе
на тему:
“ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ”
по курсу:
Системы аналитических вычислений
Калуга
Содержание
1 Постановка задачи
2 Анализ устойчивости
3 Решение дифференциального уравнения интерполяционным методом Адамса
4 Синтез
Вывод
Список литературы
Приложение 1 (Листинг скрипта для нахождения корней полинома)
Приложение 2 (Листинг скрипта для решения дифференциального уравнения
численным методом)
Приложение 3 (Листинг скриптов для нахождения коэффициентов регулятора)
1 Постановка задачи
Требуется:
1. Выполнить анализ устойчивости работы нескорректированной системы управления.
2. Выполнить анализ функционирования системы
3. Синтезировать регулятор для системы управления.
4. Выполнить анализ работы скорректированной системы управления.
Структурная схема системы приведена на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема контура стабилизации угла тангажаПараметры системы имеют следующие значения:
Требования к системе:
2 Анализ устойчивости
Выполним анализ нескорректированной системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
Найдем передаточную функцию всей системы
Составим матрицу Гурвица
a0=1; a1=7.4; a2=19; a3=10;
По критерию Гурвица для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители на главной диагонали были больше нуля
Найдем все миноры на главной диагонали:
Система устойчива.Критерий Михайлова:
Из условия
Получаем, что система устойчива.Построим годограф разомкнутой системы и найдем запас устойчивости.
На рис. 2 приведен график АФЧХ разомкнутой системы и единичная окружность.
Рис. 2.Годограф АФЧХ разомкнутой системы
По рис. 2 легко определить запас устойчивости замкнутой системы.
Нахождение корней характеристического уравнения методом градиентов.
Найдем корни передаточной функции с помощью метода градиентов.
Рабочая формула используемого метода имеет следующий вид
где
и 
векторы неизвестных на шаге k+1 и k. 
- транспонированная матрица Якоби, вычисленная на шаге k.
Невязка на шаге k 
Шаговый множительНаходим полюса для передаточной функции, имеющий вид
Текст программы приведен в приложении 1.
Результат приведен на рис.3
Рис. 3. Пример нахождения полюсов ПФ W(s)
Аналитические выражения для переходной и импульсной переходной функций, АЧХ, ФЧХ, АФЧХ
Найдем импульсную переходную функцию.
График k(t) приведен на рис. 4.
Рис. 4. График импульсной переходной функции.
Найдем переходную функцию.
График h(t) приведен на рис. 5.
Рис. 5. График переходной функции.
Найдем амплитудно-частотную характеристику.
График АЧХ приведен на рис. 6.
Рис. 6. График АЧХ
Найдем ФЧХ:
График ФЧХ приведен на рис. 7.
Рис. 7. График ФЧХ
Найдем АФЧХ.
График ФЧХ приведен на рис. 8.
Рис. 8. График АФЧХ
Вывод: Система является устойчивой, перерегулирование равно 0, время управления примерно равно 5с.
3 Решение дифференциального уравнения интерполяционным методом Адамса
Так как ДУ заданной системы имеет третий порядок, то его необходимо свести к системе уравнений, каждое из которых должно иметь первый порядок, т.е. имеет место нормальная форма Коши:
Запишем нормальную форму Коши в следующем виде:
Приведём уравнение к нормальной форме Коши:
Интерполяционный метод Адамса 3:
, точность 
Для того, чтобы использовать этот неявный метод, нужно знать
Получим
методом Эйлера: 
точность 
Для получения точности
на первом шаге, возьмем 
Текст программы находится в приложении 2.
Результаты работы программы при h равных 0.5, 0.2, 0.01 приведены на рис. 9.
Рис. 9. Отклики на единичное ступенчатое воздействие
4 Синтез
Введем в прямую цепь ПИД регулятор, а в обратную ПД.
Вид скорректированной системы приведен на рис. 10.
Рис.10. Структурная схема скорректированной системы
Найдем передаточную функцию системы