Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами (стр. 2 из 10)

Среда на входе системы моделируется автономными системами – генераторами воздействий или преобразователями типовых воздействий – фильтрами. Распространенными типовыми сигналами, моделирующими детерминированное воздействие, являются единичные импульсная и ступенчатая функции. Примером типового случайного воздействия является так называемый «белый шум». Среда может моделироваться динамической системой того же класса, что и сама система управления. Однако часто рассматриваются детерминированные системы со случайными воздействиями на входе.

1.3. Способы построения моделей

В зависимости от характера и объема априорной информации об объекте исследования выделяют два способа построения моделей систем управления в формах, принятых в теории управления: аналитический и экспериментальный.

Аналитический способ применяется для построения моделей объектов хорошо изученной природы. В этом случае имеется вся необходимая информация о свойствах объекта, но она представлена в другой форме. В результате идеализации физических объектов появляются структурные модели в виде схем с сосредоточенными компонентами (рис.2, а). Типичными представителями физических систем, допускающих такое представление, являются электрические и механические объекты. На рис.2, б изображена электрическая схема; рис.2, в представляет собой пример механической поступательной системы.

Подобные схемы являются моделями, в которых информация об интересующих свойствах объекта представлена в наглядной форме с использованием графических образов, отражающих физическую природу явлений, устройство и параметры объектов. На таких моделях базируются соответствующие дисциплины, например, теоретическая электротехника и теоретическая механика. Принципиальные схемы – стационарные линейные модели с сосредоточенными компонентами.

Методы теории управления абстрагируются от конкретной природы объектов и оперируют более общими – математическими (символьными) моделями.

Аналитический способ моделирования складывается из этапа построения схемы объекта и ее дальнейшего преобразования в математическое описание требуемой формы. При этом принципиальные проблемы моделирования решаются на первом – неформальном этапе. Второй этап оказывается процедурой преобразования форм представления моделей. Это дает возможность разработать различные компьютерные программы, позволяющие автоматизировать составление уравнений по схемам.

Рассмотрим примеры составления дифференциальных уравнений электрического и механического объектов. Ограничимся классом линейных стационарных моделей.

Существуют три типа пассивных электрических двухполюсников – сопротивление R, емкость С и индуктивность L, описываемые следующими уравнениями для токов i(t) и напряжений u(t):

;

Активными двухполюсниками электрических схем являются источникнапряжения и источник тока.

Уравнения связи двухполюсников в конкретной схеме выражаются законами Кирхгофа, представляющими собой условия непрерывности токов и равновесия напряжений:

· первый закон – сумма токов в любом узле равна нулю;

· второй закон – сумма напряжений в любом контуре равна нулю.

Рассмотрим пример электрической схемы, изображенной на рис.2, б. Пусть выходом схемы является напряжение на емкости

. В соответствии с первым законом имеем:

Второй закон для единственного контура запишется так:

Выражая напряжения

через

;

получим дифференциальное уравнение второго порядка

Рассмотрим механическую систему (рис.2, в). Пассивными двухполюсниками механических схем являются механическое сопротивление В, масса М и упругость K, описываемые следующими уравнениями для сил f и перемещений x или скоростей v:

;

Идеальными источниками механической энергии являются источник скорости и источник силы. Уравнения связей механических двухполюсников выражают условия равновесия сил и непрерывности перемещений (скоростей). В соответствии с приведенными ранее уравнениями механических двухполюсников и уравнениями связей записывают дифференциальное уравнение для перемещений:

В этом однородном уравнении отсутствует правая часть, описывающая внешнее воздействие на механическую систему, т. е. она автономна. Свободные движения автономной системы являются следствием ненулевых начальных условий, например начального смещения х(0) от равновесного состояния.

При моделировании объектов различной природы – электрической, механической поступательной и вращательной, гидравлической или пневматической и др., а также смешанной природы, например электромеханической (двигатели, генераторы), могут быть выделены аналогичные пассивные и активные компоненты. Дальнейшей абстракцией при построении моделей физических объектов с сосредоточенными компонентами является полюсный граф. Эти универсальные топологические модели позволяют унифицировать составление уравнений. Специфика предметной области проявляется только на этапе построения схемы и полюсного графа, а также на заключительном этапе интерпретации результатов анализа и синтеза.

Рис.3. Схема экспериментального исследования объекта

При проектировании систем управления, когда некоторые элементы реально не существуют, аналитический метод построения моделей оказывается единственно возможным.

Если свойства объекта познаны в недостаточной степени, либо происходящие явления слишком сложны для аналитического описания, для построения математических моделей реально существующих объектов применяется экспериментальный способ, который заключается в активных экспериментах над объектом или в пассивной регистрации его поведения в режиме нормальной эксплуатации (рис.3, а). В результате обработки данных наблюдений получают модели в требуемой форме. Совокупность этих операций объединяется термином идентификация объекта. В результате идентификации получаются модели вход-выход (рис.3, б). Модель зависит не только от свойств объекта, но также от входных сигналов, их разнообразия.

Практически об идентифицируемом объекте всегда имеется какая-то априорная информация, т. е. он не является «черным ящиком». Это дает возможность комбинировать оба способа – вначале аналитически строить структуру модели и определять начальные приближенные значения параметров, а далее обработкой экспериментальных данных уточнять их значения.

1.4. Особенности структурных моделей систем управления

Особенностью математических моделей систем управления является то, что они не только содержат априорную информацию о ее динамических свойствах, необходимую для изучения поведения системы в целом, но также отражают процессы получения и обработки текущей информации о цели системы, состоянии объекта и воздействиях среды для принятия решения по оказанию на объект надлежащего управляющего воздействия. Поскольку модели элементов и систем являются основным материалом в задачах анализа и синтеза (исходными данными и результатами), то им и алгоритмам их преобразования в теории управления отводят важное место.

Понятие модели системы управления неотделимо от понятия структуры. Под структурой систем управления понимают причинно-следственные взаимосвязи элементов (подсистем) направленного действия. Именно ориентированность элементов и их взаимосвязей отличает модели систем управления от структурных моделей физических систем.

При построении моделей с раскрытой причинно-следственной структурой объект или систему предварительно расчленяют на элементы направленного действия и рассматривают их как преобразователи сигналов. Элементы выделяются, как правило, по функциональному признаку, причем сами эти функции понимаются в контексте операций управления: объект управления; измерительные, преобразовательные и усилительные элементы; управляющее устройство; исполнительный механизм; управляющий орган. Далее для каждой части строится своя модель, а затем модели частей связывают между собой таким же образом, как соединялись сами части.

Если части системы образуют контуры, то моделирование по частям встречается с принципиальной проблемой: не зная свойств частей, нельзя описать сигналы на их входах; не зная сигналов, нельзя правильно идентифицировать отдельные части. Достоинство моделирования по частям заключается в наглядности механизма преобразования входов в выходы.