Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами (стр. 6 из 10)
A(s) = det A(s) (23)
Этот способ построения моделей вход-выход по системе уравнений (20) сводится к вычислению определителей полиномиальных матриц.
Для примера (21) запишем систему в матричной форме (20); матрицы имеют вид:
A(s) =
; B(s) = 
. (24)В соответствии с правилом Крамера по формуле (23) определяем характеристический полином:
числитель передаточной функции W21(s) (здесь r =1, q = 2) равен
detA21 =
Имеем систему алгебраических уравнений многомерной системы, записанную для изображений переменных (20). В общем случае передаточная матрица системы, т.е. модель вход-выход через полиномиальные матрицы выражается следующим образом:
W(s) = CA-1(s)B(s).(25)
Здесь вычисления связаны с обращением и перемножением полиномиальных матриц. Ясно, что полиномиальная матрица системы А(s) должна быть не особенной, иными словами, ее определитель не равен тождественно нулю. Известно, что
,где А*(s) – присоединенная матрица.
Следовательно, выражение для передаточной матрицы (25) примет вид:
W(s) = CA*(s)B(s)/A(s). (26)
Пример. Модель вход-выход в виде линейного дифференциального уравнения
y(n) + a1y(n-1) + … + an-1y(1) + any = b0u(n) + b1u(n-1) + … + bnu
может быть приведена к модели в переменных состояния следующим образом:
x(1) = xi + 1 + ki*u, где i = 1, n-1;
x(1)n = – anx1 – an-1x2 –…– a1xn + knu;
y = x1 + k0u;
коэффициенты k рассчитываются по рекуррентным формулам:
k0=b0;
k1=b1 – a1k0;
…
; 
,где n = 3; a1 = 0; a2 = 2; a3 = 4; b0 = 2; b1 = b2 = 0; b3 = –1.
Определим значение ki:
k0 = b0 = 2;
k1 = b1 – a1*k0 = 0;
k2 = b2 – a1k1 – a2k0 = – 4;
k3 = b3 – a1k2 – a2*k1 – a3k0 = – 9.
Тогда исходное уравнение в переменных состояниях (нормальная форма):
x1(1) = x2;
x2(1) = x3 – 4u;
x3(1) = – 4x1 – 2x2 – 9u;
y = x1 + 2u,
или в векторной форме
; 
,где матрицы объекта, управления, наблюдения и обхода, соответственно,
; 
; 
; 
.2.5 Построение моделей вход-выход по уравнениям в форме пространства состояний
Пусть дифференциальные уравнения объекта или системы управления записаны в форме пространства состояний:
An + Bf, n(0);(27)
y = Cn + df.
Для простоты примем одномерный случай: переменные входа и выхода f и y являются скалярами; матрица входа В – столбец; матрица выхода С – строка; d – скаляр обхода.
Преобразуем уравнения (27) по Лапласу при нулевых начальных условиях:
sn(s) = AV(s) + BF(s);
(28)
Y(s) = Cn(s) + dF(s).
Выразим решение системы алгебраических уравнений – изображение вектора состояний – в следующей форме:
n(s) = (sI – A)-1BF(s), (29)
где (sI – A)-1 – матрица, обратная характеристической матрице (sI – A) матрицы А; I– единичная матрица. Подставим (28) в (29) и получим
Y(s) = W(s)F(s) = [C(sI – A)-1B + d]F(s).
Передаточная функция W может быть записана и иначе, если учесть, что
(sI – A)-1 = (sI – A)* / A(s), (30)
где (sI – A)* – присоединенная матрица;
A(s) = det(sI – A), (31)
A(s) – определитель характеристической матрицы – характеристический полином системы дифференциальных уравнений (17).
С учетом (30) передаточная функция запишется как
(32)Элементами присоединенной матрицы (sI – A)* являются алгебраические дополнения элементов характеристической матрицы (sI – A), т.е. полиномы. Их степени не могут превосходить n – 1. Таким образом, как видно из формулы (32), степень m = degB полинома числителя передаточной функции W не может быть выше степени n = degA характеристического полинома и равна ей только при
. Это ограничивает возможности описания динамических систем в нормальной форме пространства состояний 
.Имея полиномы передаточной функции (32), легко записать дифференциальное уравнение n-го порядка.
Преобразуем по Лапласу уравнения (27)
sn(s) – n(0) = An(s) + BF(s)
и получим выражение для изображения вектора состояния
n(s) = (sI – A)-1n(0) + (sI – A)-1BF(s). (33)
В этой сумме первое слагаемое – свободное, а второе – вынужденное движения системы. Для получения оригинала – функции времени n(t) выполняется операция обратного преобразования Лапласа. В данном случае выражение для изображения представляет собой матрицу, однако справедлива аналогия со скалярным случаем. Оригинал скалярной функции
имеет вид экспоненты. Оказывается, что аналогичное выражение имеет место и в матричном случае, т.е.
L-1 {(sI – A)-1} = eAt = Ф(t),
что является матричной экспонентой, называемой матрицей перехода. Произведению изображений отвечает свертка оригиналов, это справедливо и для матриц. Поэтому вектор состояния как функция времени получается из выражения (33) и имеет следующий вид:
(34)Изображение переменной выхода при нулевых начальных условиях n(0) = 0 получится подстановкой второго слагаемого выражения (33) во второе уравнение системы (27):
Если на вход системы подается единичный импульс, т.е. F(s) = 1, то реакция системы (импульсная переходная функция) определяется из выражения (34):
(35)Сопоставляя полученную формулу с выражением для передаточной функции (32), замечаем, что
.Отсюда следует один из способов получения матрицы перехода путем обращения по Лапласу матрицы (sI – A)-1.
2.6 Модели систем управления с раскрытой причинно-следственной структурой
Под структурой систем управления понимают причинно-следственную связь между элементами направленного действия. Понятия «система» и «структура» являются близкими по смыслу. Наиболее общие определения понятий системы и структуры строятся как отношения на множествах, математически это графы. Графы являются универсальным средством описания структур систем. При небольшом числе элементов и связей весьма наглядны диаграммы графов, т.е. их геометрические образы.
В зависимости от элементов множеств рассматриваются различные типы графов. Приведенная на рис.3, а схема, иллюстрирующая принципы управления, отражает типовые структуры причинно-следственных отношений основных элементов систем управления и, по существу, представляет собой ориентированный граф. Электрическая и механическая схемы, изображенные на рис.2, также являются примерами графов, только неориентированных.
Имея в виду структуру связей элементов, иногда говорят о топологии (топографии) системы. Даже без конкретизации вершин и дуг, т.е. только по топологии, можно сделать ряд важнейших выводов о свойствах системы, которые сохраняются при дальнейшем раскрытии неопределенности – уточнении структур операторов и конкретизации значений параметров.
В зависимости от подхода к моделированию и от конкретного содержания элементов исходного множества и элементов отношения модели с раскрытой структурой могут быть представлены структурными схемами, сигнальными графами, системами дифференциальных уравнений в причинно-следственной форме и некоторыми другими формами.