Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами (стр. 8 из 10)

передаточная функция:

(54)

амплитудно-фазовая характеристика (рис.15, б):

(55)

Иногда применяется другая форма записи уравнения интегрирующего звена:

(56)

Примером интегрирующего звена является емкость с притоком жидкости сверху, причем расход на стоке не зависит от уровня в емкости (рис.16). Такая емкость не обладает самовыравниванием на притоке. Интегрирующее звено называется астатическим.

Уравнение дифференцирующего звена:

(57)

переходная функция:

; (58)

передаточная функция:

; (59)

амплитудно-фазовая характеристика:

, (60)

т.е. она совпадает с положительной мнимой полуосью.

Характеристики дифференцирующего звена обратны характеристикам интегрирующего звена. Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует, но они используются при анализе сложных систем, из которых можно выделить дифференцирующие звенья.

Звено с запаздыванием без искажения воспроизводит на выходе входную величину, задерживая ее на время запаздывания t.

Уравнение такого звена имеет вид:

; (61)

передаточная функция:

; (62)

амплитудно-фазовая характеристика:

. (63)

Примерами таких звеньев являются транспортеры (рис.17), длинные трубопроводы и т.д. Если известны расстояние l и скорость движения ленты транспортера v, то запаздывание можно определить по формуле

. (64)

2.8 Характеристики систем с типовой структурой

Системы с типовой структурой образуются последовательным (рис.18, a), параллельным (рис.18, б) соединениями звеньев или соединением с обратной связью (рис.18, в). Выявление свойств типовых систем в целом связано с построением эквивалентных систем со свернутой структурой (рис.18, г). Эквивалентные системы в терминах вход-выход могут быть представлены в форме дифференциального уравнения

A_э(р)у(t) = В_э(р)f(t), (65)

передаточная функция

временная характеристика:

;

частотная характеристика

Дифференциальные уравнения системы, образованной последовательным соединением звеньев, запишутся так:

A₁(p)x₁(t) = B₁(p)f(t);

A₂(p)x₂(t) = B₂(p)x₁(t);

y(t) = x₂(t).

В результате исключения переменных х₁их₂ получим операторные полиномы уравнения (65):

А_э(р) = А₁(р)А₂(р); В_э(р) = В₁(р)В₂(р).

Одновременно получаем передаточную функцию эквивалентного звена:

W_э(s) =

W₁(s)W₂(s). (66)

Временную характеристику – импульсную переходную функцию получаем обратным преобразованием Лапласа передаточной функции (66):

w_э(t) =

.

Амплитудная частотная характеристика равна произведению соответствующих характеристик последовательно соединенных звеньев:

R_э(w) = R₁(w)R₂(w),

фазочастотная характеристика равна сумме

j_э (w) = j₁(w) + j₂(w),

ЛАЧХ системы получается в виде суммы

L_э(w) = L₁(w) + L₂(w).

На рис.19 изображен пример графического построения ЛАЧХ системы, образованной последовательным соединением интегрирующего звена W₁ и апериодического звена первого порядка W₂.

Дифференциальные уравнения системы, образованной параллельным соединением звеньев (см. рис.18, б), запишутся так:

А₁(p)x₁(t) = В₁(p)f);

А₂(p)x₂(t) = В₂(p)f(t);

y(t) = x₁(t) + x₂(t).

В результате исключения переменных x_i получим операторные полиномы эквивалентного уравнения (65):

А_э(p) = А₁(p)А₂(р);

В_э(p) = В₁(p)А₂(p) + А₁(р)В₂(р).

Передаточная функция эквивалентного звена получается как сумма передаточных функций звеньев:

W_э(s) =

W₁(s) + W₂(s). (67)

Временная характеристика системы является суммой временных характеристик звеньев:

w_э(t) = w₁(t)w₂(t).

При параллельном соединении звеньев легко получить вещественную Р_э(w) и мнимую Q_э(w) частотные характеристики эквивалентного звена:

Р_э(w) = Р₁(w) + Р₂(w); Q_э(w) = Q₁(w) + Q₂(w).

Диполь передаточной функции W_э(s) получается:

· если одна из передаточных функций звеньев имеет диполь;

· звенья имеют одинаковые полюсы А₁(s_i) = A₂(s_i) = 0.

Дифференциальные уравнения типового соединения с обратной связью:

А₁(p)x₁(t) = В₁(p)x₃(t);

А₂(p)x₂(t) = В₂(p)x₁(t);

x₃(t) = f(t)

x₂(t);

y(t) = x₁(t),

где знак «минус» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «плюс» – положительной.

Исключение внутренних переменных дает операторные полиномы дифференциального уравнения эквивалентного звена:

А_э(p) = А₁(p)А₂(р)

B₁(p)B₂(р);

В_э(p) = В₁(p)А₂(p). (68)

Передаточная функция эквивалентного звена:

W_э(s) =

. (69)

Если звенья образуют контур положительной обратной связи, то в формулах (69), (69) используется знак «минус».

Временная характеристика системы с обратной связью w_э(t) сложным образом зависит от w₁(t) и w_э(t), поэтому ее удобнее получать обратным преобразованием Лапласа эквивалентной передаточной функции:

w_э(t) =

.

Комплексная частотная характеристика системы с обратной связью также сложным образом зависит от частотных характеристик звеньев:

W_э(jw) =

. (70)

Свойства системы с обратной связью определяются усилением разомкнутого контура с передаточной функцией W_p(s) =W₁(s) + W₂(s) на различных частотах. Если усиление контура мало, то можно пренебречь обратной связью. Действительно, по виду выражения (44) можно заключить, что на частотах, где выполняется условие

= << 1

имеет место приближенное соотношение

W_э(jw) »W₁(jw).

Практически усиление контура считается малым, если

L_р(w) =

< – (16-20) дБ.

С другой стороны, на частотах, где выполняется условие

>> 1,

имеет место другое приближенное соотношение

W_э(jw) »

.