Математична логіка (стр. 6 из 8)
Приклад 2.2. Позначимо речення "х більше 3" через Р(х), де предикатний символ Р позначає предикат "більше 3", ах - змінна, або предметний символ. Вираз Р(х) у цілому теж називають предикатом. Щоб записати твердження "х більше 3" як предикат, можна поступити інакше - визначити предикат БІЛЬШЕ(х,у), який означає "х більшеy". Тоді речення "х більше 3" можна записати за допомогою предиката БІЛЬШЕ(х, 3).
Загалом, предикат, який містить nзмінних: x1, x2, x3,…,xn, записують Р(х1,х2,...,хn) та називають n-місним. Змінну xi
Di(i=1,2,..,n) називають предметною, множину Di - її предметною областю, а символ Р - n-місним предикатним символом. Замість терміну "предикат" іноді використовують "пропозиційна функція".Щойно змінна х дістає значення з предметної області, предикат Р(х) набуває значення Т або F та перетворюється у висловлювання. Аналогічно, якщо всі змінні багатомісного предиката одержать значення, то він набуде значення істинності й теж перетвориться у висловлювання.
Атом логіки першого ступеня має вигляд Р(х1, х2,...,хn), де Р- предикатний символ, аx1,x2,…,xn - предметні або індивідні символи.
Приклад 2.3. Нехай вираз "x+у=2" задано предикатом Q(х,у). Тоді Q(1,2) - фальшиве висловлювання, а Q(2,0) - істинне. Позначимо це так: Q(1,2)=F, Q(2,0)=Т. Задамо речення "х любитьy" предикатом ЛЮБИТЬ(х,у). Тоді істинне речення "Іван любить Марію" подається істинним висловлюванням ЛЮБИТЬ (Іван, Марія).
Приклад 2.4. Якщо БІЛЬШЕ(х,у) - предикат, визначений у прикладі 2.2, то БІЛЬШЕ(5,3) - істинне висловлювання, а БІЛЬШЕ (1,3) - фальшиве висловлювання.
Існує інший шлях перетворення предиката у висловлювання -квантифікація. Нехай Р(х) — предикат, D — задана предметна область та х
D. Використаємо два спеціальні символи 
та 
, які називають: - квантором загальності, - квантором існування. Якщо х - змінна, то вираз ( х) читають "для всіх х", "для кожного х" або "для будь-якого х". Запис ( х)Р(х) означає "Р(х) істинний для всіх значень х з предметної області" та читають "Р(х) для всіх х". Вираз ( х) читають "існує х", "для деяких х" або "принаймні для одного х". Запис ( х)Р(х) має зміст "в області D існує таке х, що Р(х) - істинний", або "в області D існує принаймні одне х таке, що Р(х) - істинний" або "Р(х) істинний для деякого х з області D. У подальшому в записі квантора будемо випускати дужки, записуючи х та х замість ( х) та ( х), відповідно.Правильно побудовані формули логіки першого ступеня, або формули визначають так.
1.Атом є формулою.
2.Якщо Hта G- формули, то (¬H),(H
G),(H 
G),(H→G) та (H~G) - формули.3.Якщо Hформула, ах- змінна у формулі H, то
хHта хH- формули.4.Формули одержують лише скінченною кількістю застосуваньправил 1-3.
Наведемо приклади висловлювань, одержаних із застосуванням кванторів.
Приклад 2.5. Позначимо речення "х просте число" через P(х), "х раціональне число" - через Q(х), "хдійсне число" - через R(х) та "х меншеy" - через МЕНШЕ(х,у). Розглянемо такі істинні речення.
1. Кожне раціональне число є дійсним.
2. Існує число, яке є простим.
3. Для кожного числа х існує таке число у, що х<у.
Наведені речення записують такими формулами.
1.
x (Q(x)→R(x)).2.
x P(x)3.
x yМЕНШЕ(x,y)Перехід від Р(х) до
хР(х) або хР(х) називають зв'язуванням змінноїx, а змінну х—зв'язаною. Не зв'язану змінну називають вільною. У формулах хР(х) та хР(х) предикат Р(х) перебуває в області дії відповідного квантора.Приклад 2.6. У формулі
хР(х,у) зміннах зв'язана, а змінна у - вільна, оскільки перед формулою відсутній квантор, який містить цю змінну.У разі знаходження значення істинності висловлювання, отриманого з пропозиційної функції зв'язуванням її змінних кванторами, важливе значення має предметна область.
Зв'язування частини змінних багатомісного предиката перетворює його в предикат меншої місності. Зміст зв'язаних і вільних змінних у предикатах різний. Вільні змінні - це звичайні змінні, які можуть приймати різні значення з предметної області D: значення виразу Р(х) залежить відзначення х. Формули
х Р(х) і х Р(х) не залежать від змінної х та при визначених Р і D мають конкретні значення. Це, зокрема, означає, що перейменування зв'язаних змінних, а саме, заміна х Р(х) на уР(у), не змінює значення істинності формули.2.2 Закони логіки предикатів.
Еквівалентні формули логіки висловлювань залишаються правильними й у логіці першого ступеня. Однак, у логіці першого ступеня є низка еквівалентностей, або законів, пов'язаних із специфікою визначення об'єктів логіки першого ступеня.
Аналогічно до попереднього, формули логіки першого ступеня називають еквівалентними, якщо вони приймають однакові значення істинності при довільних значеннях вільних змінних. Зокрема, якщо формули Р та Q еквівалентні, то формула Р~Q - тавтологія. Еквівалентність формул Р та Q будемо записувати Р-Q.
Проблема побудови законів логіки першого ступеня полягає у доведенні логічної еквівалентності формул Р та Q. У логіці висловлювань перевірку логічної еквівалентності можна виконати побудовою відповідних таблиць істинності. Аналогічна процедура у логіці першого ступеня стикається з великими труднощами, оскільки предметні змінні мають у загальному випадку нескінченні предметні області.
Наведемо основні закони логіки першого ступеня. Зауважимо, що у наведених нижче формулах указані лише зв'язані змінні і не вказані вільні змінні, які можуть набувати довільні значення із предметної області.
1. ¬(
x P(x))= x 
(x).2. ¬(
x P(x))= x (x).3.
x(P(x) 
Q(x))= x P(x) x Q(x).4.
x(P(x) 
Q(x))= x P(x) x Q(x).5.
x(P(x) Q)= x P(x) Q6.
x(P(x) Q)= x P(x) Q