Математична обробка результатів вимірів (стр. 11 из 11)
Найбільш надійне значення шуканого параметра t для нерівноточних вимірів буде відповідати максимальному значенню функції
. Із формули видно, що це відбудеться за умови, коли показник степеня буде мінімальним, тобто 
З врахуванням попередньої формули отримаємо
Для визначення екстремуму функції візьмемо першу похідну за перемінними х1, прирівняємо до нуля і отримаємо
Умовно помножимо їх на довільне число С, отримаємо
Оскільки
, то отримаємо 
Ймовірно 
Це означає, що частка
при необмеженій кількості вимірівпрямує до істинного значення. Його називають загальним середнім арифметичним 
або
В разі рівноточних вимірів
. Тоді формула зводиться до простої арифметичної середини 
, тому цю формулу і називають загальною середньою арифметичною.3. Середня квадратична похибка одиниці ваги
Нерівноточні виміри характеризують дисперсіями
або мірою відносної точності pi. Умовно із ряду нерівноточних вимірів виберемо результат такого виміру xk, вага якого буде дорівнювати одиниці, тобто 
. Дисперсію цього результату позначимо через 
. Тоді 
,або середня квадратична похибка одиниці ваги буде дорівнювати:
. Оскільки 
то , або 
Тоді середня квадратична похибка будь-якого виміру визначиться за формулою
При р = 1,
- тобто середня квадратична похибка одиниці ваги є мірою точності того результату виміру, вага якого дорівнює одиниці.Визначимо середню квадратичну похибку одиниці ваги:
а) при заданому істинному значенні виміряної величини
В результаті нерівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини X отримано статистичний ряд
де
— істинні похибки нерівноточних вимірів, 
- вага вимірів.Зведемо ряд нерівноточних похибок вимірів до рівноточного ряду
, 
…, 
(i = l,n)Оскільки ряд даний є рівноточним і підкоряється нормальному закону розподілу, то за формулою Гаусса можна визначити середню квадратичну похибку m вимірів. Для виміру вага якого дорівнює одиниці р =1. Це буде середня квадратична похибка одиниці ваги
, або 
, або 
.б) при обчисленому загальному середньому арифметичному
, 
(i = l,n)де
— загальне середнє арифметичне;X - істинне значення вимірюваної величини.
Зробимо перетворення
Тобто, при нерівноточних вимірах і наявності істинних похибок
, систематична похибка 
, визначиться за формулою 
Для спрощення доказів складемо ряд ймовірних похибок
, 
(i = l,n)Оскільки
, то 
З формули ряд імовірних похибок теж є нерівноточним. Як і в попередньому випадку зведемо їх до рівноточного вигляду
, 
..., 
, (i = l,n)Оскільки ряд є рівноточним і за умовами підкоряється нормальному закону розподілу, то за формулою Бесселя визначимо середню квадратичну похибку m. Для виміру, вага якого буде дорівнювати одиниці (р = 1) вона буде дорівнювати середній квадратичній похибці одиниці ваги, тобто
або 
4. Середня квадратична похибка загального середнього арифметичного
Формулу загального середньоарифметичного отримаємо у вигляді
Дисперсія функції F (х) при отримаємо
, отримаємо 
Середня квадратична похибка загального середнього арифметичного при нерівноточних вимірах визначиться за формулою
Додатково обчислюють:
5. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки одиниці ваги
.6. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки загального середнього арифметичного
.