Математична обробка результатів вимірів (стр. 4 из 11)

Функцією розподілу або інтегральним законом розподілу випадкової величини X називається задання ймовірності події виконання нерівності X < х, де х - деяка поточна змінна, її розглядають як функцію аргументу х і визначають за формулою

F(x) = P(X<x)

Функціюрозподілу F(х) називаютьінтегральноюфункцієюрозподілуабоінтегральнимзакономрозподілу. Вона має досить просту геометричну інтерпретацію. Розглянемо випадкову величину, як випадкову точку X осі ОХ, що в результаті випробування може прийняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу F(х) є ймовірністю того, що випадкова точка X в результаті випробування попаде зліва від точки х.

Функція дискретної випадкової величини X, що може приймати значення Х₁,Х₂,... ,x_n буде мати вигляд

Прицьомудодаванняймовірностейрозповсюджуєтьсянавсіможливізначеннявипадкової-величини, якізасвоєювеличиноюменшіаргументух. Цеозначає, щофункціярозподілудискретноївипадковоївеличини X розривнаізростаєстрибкамиприпереходічерезточкиможливихїїзначеньХ₁, Х₂, ... , х_n.

Оскількифункціярозподілудискретноївипадковоївеличинивиглядаєяксходинковаламаналінія, томуїїназиваютьсходинковимграфіком.

Якщо випадкова величина неперервна, то вона має ймовірність в кожній точці осі х. Згідно з формулою функція розподілу буде зростати поступово, тому що можливі значення випадкової величини неперервно заповнюють будь-який інтервал на осі х. Тоді графік виглядатиме як монотонне зростаюча функція розподілу F(х) на інтервалі від а до b.

Функція розподілу має властивості:

1. Функція розподілу F(х) є зростаючою і міститься між нулем та одиницею 0<F(х)<1.

Це випливає з того, що функція F(х) визначається як імовірність випадкової події X < х.

2. Ймовірність виникнення випадкової величини в інтервалі від

до дорівнює різниці значень функції на кінцях інтервалу

Визначимо подію А того, що випадкова величина х <

та подію В для випадку х < .

Подія С відображає те, що

< х < . В цьому випадку подія В буде складатися із суми двох несумісних подій А і С, тобто В = А + С. Згідно з теоремою додавання ймовірностей маємо

P (B) = P(A) + P(C)

Якщо функція в точці

неперервна, то граничне значення дорівнює нулю. При розриві функції в точці (X її граничне значення буде дорівнювати значенню стрибка функції F (х).

З цього робимо висновок, що ймовірність випадкової величини в точці для неперервної функції дорівнює нулю. Це явище називають парадоксом теорії ймовірностей.

Проте нульова ймовірність події лише зазначає, що частота цієї події невпинно спадає при збільшенні числа дослідів, однак це не означає, що ця подія неможлива.

3. Функція розподілу випадкової величини є зростаючою функцією, тобто при

>

Маємо

Так як імовірність будь-якої події є додатне число, то

3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, а на плюс нескінченності - одиниці, тобто

Це цілком вірно, так як при необмеженому переміщенні точки х вліво, попадання випадкової точки X лівіше х максимально стає неможливою подією і

= 0. В той же час при необмеженому переміщенні точки х вправо попадання випадкової точки X зліва від х практично стає достовірною подією, тоді = 1.

За допомогою функції розподілу можна знайти ймовірність випадкової величини в будь-якому інтервалі або в кожній точці можливих значень для дискретної випадкової величини. Тому функція розподілу однозначно визначає закон розподілу випадкової величини.

Більш наочно характер розподілу неперервної випадкової величини в невеликих інтервалах числової осі х дає функція щільності розподілу ймовірностей або диференціальний закон розподілу.

Якщо маємо функцію розподілу F(х) випадкової величини X, то ймовірність попадання її на елементарну ділянку (х, х +

х) згідно з попередньою формулою буде:

Знайдемо середню ймовірність, що припадає на одиницю довжини ділянки

х

Функцією щільності розподілу випадкової величини вточці х є граничне відношення ймовірності попадання її на елементарну ділянку від х до х +

х до довжини цієї ділянки х, коли х наближається до нуля.

Її позначають

або (х). Зміст функції щільності розподілу (х) полягає в тому, що вона вказує, як часто з'являється випадкова величина X навколо точки х при повторенні дослідів.

Функція щільності розподілу має властивості:

1. Щільність розподілу невід'ємна, тобто

2. Функція розподілу випадкової величини дорівнює інтегралу від функції щільності в інтервалі від -

до х

3. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини X на відрізку (

) дорівнює інтегралу від функції щільності розподілу, взятому за кінцевими значеннями цього відрізка

Геометричний зміст цього результату полягає в тому, що ймовірність появи випадкової величини в інтервалі від

до дорівнює площі криволінійної трапеції.

4. Інтеграл в нескінченних межах від -

до + дорівнює одиниці

Ймовірність попадання випадкової величини X на елементарний інтервал dx з точністю до нескінченно малих вищого порядку чим

х дорівнює (х) dх, (так як ). Геометричний зміст цього виявляється в тому, що це є площа елементарного прямокутника з висотою (х) і основою dх. Величина називається елементом імовірності.

3. Числові характеристики випадкових величин

Законрозподілуповністюхарактеризуєвипадковувеличинузточкизоруймовірностіїїпоявивбудь-якомуінтервалічисловоїосі 0х. Разом з тим при вирішенні великої кількості практичних задач достатньо знати тільки деякі характерні риси закону розподілу. В теорії ймовірностей їх називають числовими характеристиками випадкової величини X. Вони в досить стислому вигляді характеризують той чи інший закон розподілу.

Властивості випадкової величини X характеризують параметри: математичне сподівання, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та стандарт. Більш узагальненими основними характеристиками випадкових величин є моменти випадкової величини.

1) Математичне сподівання

Якщо дискретна випадкова величина X володіє можливими значеннями х₁, Х₂,..., х_n з імовірностями p₁,p₂, p_n то математичне сподівання випадкової величини X визначається за формулою