Математична обробка результатів вимірів (стр. 6 из 11)

3. При

гілки кривої асимптотично наближаються до осі О_х

4. Якщо

, то зміна значення математичного сподівання М_хпризводить до зміщення кривої розподілу вздовж осі Ох.

5. При

і зміні величини середнього квадратичноговідхилення крива розподілу стає більш гостроверхою абоплосковерхою.

При вирішенні практичних задач, нормальний розподіл відіграє важливу роль. Якщо випадкова величина X підкоряється нормальному закону розподілу, то ймовірність її попадання на ділянку (

) дорівнює

Згідно з четвертою та п'ятою властивостями для різних випадкових величин X буде своя крива розподілу. Щоб уникнути цього визначають нормований нормальний закон розподілу. Вводять нормовану випадкову величину t

,

для якої математичне сподівання

, а квадратичне відхилення .

Інтеграл не можна виразити через елементарні функції. Тому його обчислюють через спеціальну функцію, що є визначеним інтегралом від величини

(інтеграл імовірностей.

Іноді приводять таблицю функції 2

(t) для обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини X в симетричні інтервали від -t до t.

Функцію

(t) називають нормованою функцією Лапласа або інтегралом імовірностей.

РОЗДІЛ 3. СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

1. Поняття та закон розподілу системи випадкових величин

Доцьогочасумирозглядалиодномірнувипадковувеличину X. Однаквсучаснійтеоріїматематичноїобробкирезультатівбагаторазовихповторнихгеодезичнихвимірюваньвикористовуютьбагатомірнівипадковівеличини. Багатомірна випадкова величина може складатися із декількох компонентів і бути двомірною, тримірною і так далі. Так, наприклад, координати точки на площині визначаються двома випадковими величинами: абсцисою X та ординатою У; положення точки в просторі визначається вже трьома координатами - X, Y та висотою Н.

Сумісна дія двох чи більше випадкових величин приводить до системи випадкових величин. Умовимось систему декількох випадкових величин X, У, ..., N позначати (X, У, ..., N). При вивченні системи випадкових величин визначають характеристики як кожної випадкової величини, так і зв'язки та залежність між ними. А це вже більш складні задачі.

Домовимось, що систему двох випадкових величин (Х, У) ми будемо розглядати як випадкову точку на площині х0у з координатами X і У, або як випадковий вектор на площині з випадковими складовими X i У. Систему трьох випадкових величин (X, У, Z) - як випадкову точку в тримірному просторі або, як випадковий вектор в просторі. За аналогією, систему n -випадкових величин (X, У, ..., N) розглядають як випадкову точку в n-мірному просторі або, як n-мірний випадковий вектор.

Законом розподілу системи випадкових величин називають співвідношення, що встановлює зв'язок між областями можливих значень системи випадкових величин і ймовірностями появи їх в цих областях.

Закон розподілу системи випадкових величин можна задавати в різних формах. Покажемо табличний спосіб розподілу системи дискретних випадкових величин.

Якщо X та У - дискретні випадкові величини, значення яких дорівнюють (Х_bУ_j), де і =

, а j = ( ), то їх розподіл системи можна характеризувати ймовірностями р_ij = Р(Х = х₁; Y = y₁. Це означає, що коли випадкова величина X приймає значення х₁ одночасно і величина Y прийме значення у_j

Всі можливі події (X = x_і, Y = y_j) і =

, а j = ( ) складають повну групу несумісних подій і тому

2. Система двох випадкових величин

В практиці геодезичних вимірів досить часто взаємодіють дві випадкові величини X та У, тобто двомірні випадкові величини. В попередньому параграфі ми наводили приклад з координатами точки. При лінійних вимірах взаємодіють - довжина мірного приладу та температура. При дослідженнях деформацій інженерних споруд взаємодіють — величина осідання та інтервал часу і так далі.

Закон розподілу системи двох випадкових величин задають функцією розподілу та щільністю розподілу.

Функцією розподілу системи двох випадкових величин називають функцію двох аргументів F (х,у), що дорівнює ймовірності сумісного виконання двох нерівностей Х<х і У < у, тобто

F(x,y) = P (X<x I Y<y)

Геометричне функцією розподілу системи двох випадкових величин є ймовірність попадання випадкової точки (Х,У) в нескінченний квадрат площини з вершиною в точці (х,у).

Функція розподілу має такі властивості:

1. Якщо один із аргументів наближається до плюс нескінченності, то функція розподілу системи наближається до функції розподілу випадкової величини другого аргументу, тобто

2. При наближенні обох аргументів до плюс нескінченності функція розподілу F (х,у) наближається до одиниці:

або

3. При наближенні одного чи обох аргументів до мінус нескінченності функція розподілу наближається до нуля:

Практичне значення мають системи неперервних випадкових величин, розподіл яких характеризують щільністю розподілу

(х, у). За допомогою неї більш просто знаходять імовірність попадання в різні області, а опис розподілу системи випадкових величин стає більш наочним.

Щільність розподілу системи двох випадкових неперервних величин визначають як другу змішану часткову похідну від функції F(х,у), тобто

Функція розподілу F(х,у) визначається за формулою

Щільність розподілу системи двох випадкових величин має властивості:

1. Щільністю розподілу є функція

2. Подвійнийінтегралзнескінченнимимежамивідфункціїщільностірозподілудорівнюєодиниці:

Геометрично це свідчить про те, що об'єм тіла, відмежованого поверхнею розподілу і площиною х0у, дорівнює одиниці.

Щільності розподілу величин х та у, що входять в систему, визначають за формулами:

Тобто, для визначення щільності розподілу однієї із системи випадкових величин, треба проінтегрувати в необмежених межах щільність розподілу системи

(х,у) за аргументом другої випадкової величини.

Якщо відомі щільності розподілу окремих випадкових величин системи і випадкові величини х та у незалежні між собою, то можна визначити закон їх сумісного розподілу за формулою

Поняття залежності та незалежності випадкових величин має велике значення в теорії ймовірностей та при математичній обробці результатів вимірів.

Випадкова величина X буде незалежною від випадкової величини У, якщо закон розподілу величини X не залежить від прийнятого значення величини У, тобто

і навпаки, для випадкової величини Yмаємо

Якщо вони взаємно залежні між собою, то

;

Випадкові величини Х і У незалежні, якщо щільність сумісного розподілу

(х,у) можна визначити у вигляді добутку двох множників, кожен із яких утримує тільки величини х та у, тобто

Додамо, що при розкладанні, функції

, (у) з точністю до постійної множників збігаються з щільностями розподілу ₁(х) і ₂(у).