Математична обробка результатів вимірів (стр. 1 из 11)

1. Математична обробка ряду рівноточних вимірів

Математична обробка ряду рівноточних вимірів полягає в послідовному визначенні числових характеристик вимірюваної величини.

Для зручності приведемо послідовність обчислень при обробці ряду рівноточних вимірів. Припустимо, що в результаті повторних рівноточних вимірів величини Х дотримано ряд результатів

( )

Обчислюють

1. Просту арифметичну середину за формулою

Для зручності обчислень можна взяти умовне значення близьке до виміряних результатів х₀. Обчислити різниці

(i = l,n)

2. При відомому істинному значенні X обчислюють величину систематичної похибки

за формулою

3. Абсолютні похибки вимірів при заданому істинному значенні X

(i = l,n )

або ймовірні похибки, коли невідоме істинне значення вимірюваної величини X

Контроль [V_i] = 0 — в межах точності обчислень.

4. Величини [

] або [ ] з контролем

Контроль

5. Середню квадратичну похибку окремого виміру:

а) за формулою Гаусса

б) або за формулою Бесселя

6. Середню квадратичну похибку середнього арифметичного

Даліобчислюютьоцінкинадійностіісередніхквадратичнихпохибок m іМ.

7. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

При цьому

. Параметр t визначається за таблицями розподілу Стьюдента залежно від заданої ймовірності та числа ступенів вільності n.

8. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки арифметичного середнього

Надійність визначення СКП арифметичного середнього М контролюють нерівністю

9. Визначають довірчі інтервали для:

а) можливого значення істинної величини

де

— параметрвибираєтьсяізтаблицьрозподілуСтьюдентазалежновідзаданоїймовірності такількостіступеніввільності k = n - 1

б) можливих значень результатів вимірів

,

де параметр t вибирається так само, як і в попередньому випадку.

Якщо в ряду вимірів є результати, що виходять за межі визначеного параметра, то їх або повторюють, або виміри виключають і попередні обчислення виконують повторно;

в) дисперсії та стандарти середнього арифметичного

де m і М — середні квадратичні похибки, обчислені за формулами.

Коефіцієнти

і обчислюються за формулами

,

при використані формули

,

при використанні формули, статистики

і вибираються із таблиць розподілу Пірсона за числом ступенів вільності (n-1) або n та заданій імовірності при

i

Середнє арифметичне

Середню квадратичну похибку окремого виміру за формулою Бесселя

Середню квадратичну похибку середнього арифметичного

Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

При

= 0,95 та n за таблицею = 2,3 отримаємо

Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки арифметичного середнього

При

= 0,95 та = 2,3

або (1,3 > 0,62)

Це говорить про те, що оцінки m та М отримані надійно.

Обчислюють довірчі інтервали:

а) для істинного значення при

= 0,95 і = 2,3

;

б) результатів вимірів

в) стандарти середнього арифметичного при

= 0,95 p₂ = 0,03 і р₁ = 0,97. k = n-1=11 Шляхом лінійного інтерполювання визначаємо

Тоді

Відповідно отримуємо інтервал

( )

г) стандарти окремих вимірів

( )

Можна обчислити і відносні похибки

а) для істинного значення довжини компаратора використаємо

інтервальну оцінку. Похибка визначення складе

де

— початкове та кінцеве значення інтервалу.

Відносна гранична похибка складе

,

б) точність окремих вимірів характеризується відносною граничною

похибкою

Залежно від заданих умов приймають остаточне рішення про якість виконаних вимірів і можливості використання компаратора.

2. Математична обробка ряду нерівноточних вимірів

Приведемо послідовність визначення числових характеристик багатократних повторних нерівноточних вимірів. Якщо отримано статистичний ряд нерівноточних вимірів

( )