Математична статистика (стр. 3 из 7)
; 
.4. Стандартні розподіли математичної статистики
4.1 Розподіл 
(хі-квадрат)
Нехай
- система нормальних випадкових величин з одинаковими математичними сподіваннями 
та середньоквадратичними відхиленнями 
. Тоді сума квадратів цих величин 
розподілена за законом 
(хі квадрат) із 
степенями свободи. Густина розподілу 
(4.1.1)де
- гамма-функція (додаток 1.11).Розподіл
однозначно визначається одним параметром – числом степені свободи n. Із збільшенням числа степеней свободи розподіл повільно наближається до нормального (додаток 1.12).Математичне сподівання та дисперсія розподілу
, 
.Доведення. За означенням математичного сподівання
, 
,(використана рівність
).З врахуванням цього
.Для обчислення дисперсії зручно скористатися формулою
.
За означенням математичного сподівання
, 
З врахуванням цього
.
4.2 Розподіл Стьюдента
Якщо Z – нормальна випадкова величина з параметрами
та 
, а V – незалежна від Z величина, розподілена за законом із n степенями свободи, то випадкова величина 
має розподіл, який називають розподілом Стьюдента, з густиною
.(4.2.1)Розподіл Стьюдента однозначно визначається одним параметром – числом степеней свободи розподілу випадкової величини V (додаток 1.13)
Функція
симетрична, тому математичне сподівання розподілу Стьюдента дорівнює нулю: 
,(4.2.2)а дисперсія
.(4.2.3)4.3 Розподіл FФішера-Снедекора
Якщо U іV – незалежні випадкові величини розподілені за законом
з 
степенями свободи, відповідно, то випадкова величина 
(4.3.1)має розподіл , який називається розподілом F Фішера-Снедекора з густиною
(4.3.2)Розподіл F Фішера-Снедекора однозначно визначається двома параметрами
(додаток 1.14).Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини
відповідно дорівнюють 
,(4.3.3)
.(4.3.4)
Розподіл F Фішера-Снедекора називають ще
-розподілом.5. Статистичні оцінки параметрів розподілу
Нехай необхідно вивчити кількісну ознаку X генеральної сукупності. І нехай відомий вигляд розподілу цієї кількісної ознаки. Необхідно знайти параметри цього розподілу за статистичними даними вимірювань або спостережень.
Приклад 3.1.Якщо відомо наперед, що ознака генеральної сукупності розподілена нормально, то необхідно оцінити параметри 
нормального розподілу.
Приклад 3.2.Якщо відомо наперед, що ознака генеральної сукупності має розподіл Пуассона, то необхідно оцінити параметр 
цього розподілу.
Нехай
значення кількісної ознаки X , які одержані в результаті n спостережень. Від серії до серії спостережень, взагалі кажучи, одержуються різні значення . Тому останні мають розглядатися як значення випадкових величин 
. Щоб знайти точкову оцінку (точкова оцінка виражається одним числом) невідомого параметра (знайти наближенне значення) необхідно знайти функцію цих випадкових величин, значення якої при їх конкретних значеннях 
було б значенням точкової оцінки невідомого параметра розподілу.Отже, статистичною точковою оцінкою невідомого параметра теоретичного розподілу називають функцію випадкових величин . В подальшому точкова статистична оцінка буде називатися просто статистичною оцінкою.
Нехай q- параметр теоретичного розподілу і
його статистична оцінка. Статистична оцінка називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює значенню параметра при будь-якому об’ємі вибірки, тобто якщо
,і зміщеною якщо
.Використання зміщеної оцінки приводить до систематичних похибок одного знаку. Цього немає при використанні незміщеної оцінки.
Але незміщена оцінка не завжди дає необхідну точність визначення значення параметра теоретичного розподілу. Для цього необхідно, щоб вона була ефективною, а при великих об’ємах вибірок і умотивованою. Статистична оцінка називається ефективною, якщо при заданному об’ємі вибірки має найменшу можливу дисперсію. Статистична оцінка є умотивованою, якщо при
по ймовірності прямує до параметра теоретичного розподілу. Якщо дисперсія незміщенної оцінки при прямує до нуля, то така оцінка є умотивованою.При малих об’ємах вибірки точкова оцінка може значно відрізнятися від значення параметра теоретичного розподілу. З цієї причини при малих об’ємах вибірок користуються інтервальними оцінками.
Інтервальноюназивають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервала. Інтервальна оцінка дозволяє встановити точність та надійність оцінок.
Нехай
значення оцінки для конкретної вибірки. тим точніше визначає значення параметра q, чим менша абсолютна різниця 
. Нехай d>0 - деяке число. Ймовірність