Математична статистика (стр. 4 из 7)

(1)

називається надійністю оцінки

. Рівність (1) можна переписати у вигляді

,

.

Виходить, що ймовірність того, що випадковий інтервал

покриває невідоме значення параметра qдорівнює g. Такий інтервал називається довірчим. Отже, інтервальна оцінка визначається довірчим інтервалом та надійністю. Чим менша надійність, тим вужчий довірчий інтервал, і навпаки. На практиці надійність задається близькою да 1. Найбільш часто задають надійності 0.95,0.99 і 0.999.

6.Статистичні оцінки чисельних характеристик дискретних розподілів

Нехай X дискретна випадкова величина із розподілом

.(1.2)

Множина значень випадкової величини X є генеральною сукупністю і вважається відомою.

Приклад 4.1.1. Кількість очок, яка випадає при киданні несиметричного кубика є дискретною випадковою величиною з розподілом

з відомими значеннями та невідомими ймовірностями.

Нехай потрібно знайти математичне сподівання

випадкової величини X (яке в математичній статистиці називається генеральним середнім і позначається ) та дисперсію (генеральну дисперсією ). Для цього здійснюють вибірку об’єму n.

Статистичною оцінкою генерального середнього є випадкова величина

,(1.3)

де

– дискретна випадкова величина – кількість значень у вибірці. Вона може набувати значень від 0 до n. Статистична оцінка є незміщенною ( ), ефективною та умотивованною.

Доведення. Якщо вважати, що вибірка здійснюється по одному, то випадкову величину

можна також представити як суму випадкових величин - варіанта при -вийманні, кожна з яких має розподіл, який співпадає з розподілом випадкової величини :

Тому для математичного сподівання випадкової величини

можна записати

З врахуванням того, що випадкові величини

мають однаковий розподіл з випадковою величиною можна записати, що

,

і, як наслідок,

.

Отже, статистична оцінка

є незміщенною.

Дисперсії випадкових величин

однакові. Якщо вони обмежені, то згідно теореми Чебишева (3.9.2.1

,

а це означає, що

по ймовірності збігається до генерального середнього, що, у свою чергу, означає, що є ефективною статистичною оцінкою генерального середнього.

Випадкова величина (вибіркова дисперсія)

(1.4)

є зміщенною (

) статистичною оцінкою дисперсії дискретної випадкової величини X – генеральної дисперсії. Тому для генеральної дисперсії використовується “виправлена” вибіркова дисперсія

,(1.5)

яка є незміщенною (

), ефективною та умотиванною.

Різниця між вибірковою та “виправленною” вибірковою дисперсіями при достатньо великому об’ємі вибірки мала. На практиці користуються “виправленною” дисперсією , якщо приблизно

.

Для оцінки середньоквадратичного відхилення генеральної сукупності (в цьому випадку - дискретної випадкової величини X) використовують “виправлене” середньоквадратичне відхилення вибірки

,(1.6)

яка є незміщенною (

, s_z – середньоквадратичне відхилення генеральної сукупності), ефективною та умотивованною.

Статистичними оцінками ймовірностей

є відносні частоти

,

які є незміщенними (

), ефективними та умотивованими.

Довірчі інтервали ймовірностей

обчислюються за формулами

,(1.7а)

.(1.7b)

Значення змінної t (різне для кожного i) знаходиться з умови

, де - інтеграл Лапласа, - надійність відносної частоти

як статистичної оцінки ймовірності p_i.

Приклад 1.2. Несиметричний кубик кинули 80 разів і при цьому шість очок випало 16 разів. Знайти довірчий інтервал для невідомої ймовірності

з надійністю 0.9

Розв’язування. За умовою задачі

. Відносна частота .Значення змінної t знаходиться рівняння

. Розв’язок рівняння

. За формулами (4.1.6а) та (4.1.6b)

,

.

Отже, довірчий інтеграл для оцінки невідомої ймовірності

з надійністю 0.9

7. Метод максимальної правдоподібності

Метод максимальної провдоподібності використовуються для знаходження статистичних оцінок параметрів розподілів випадкових величин (як дискретних, розподіл яких задається аналітичним виразом, так і неперервних випадкових величин).

Нехай X – випадкова величина з розподілом (якщо вона дискретна) або густиною розподілу ймовірностей (якщо вона неперервна)

, який (яка) однозначно визначається параметром , і який невідомий. Для його визначення здійснюється n експериментів. Результати кожного з експериментів є випадковими величинами . Очевидно, що розподіли цих випадкових величин співпадають з функцією випадкової величини X. Експерименти незалежні, тому за теоремою множення ймовірностей незалежних подійможна записати

.