Математична статистика (стр. 6 из 7)

Розв’язування. Згідно (6.2.5) довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу є

Параметр

задовольняє рівнянню . Розв’язок рівняння З

. Точність оцінки математичного сподівання . Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання з надійністю 0.9

Якщо параметр

невідомий, то довірчий інтервал, який покриває з надійністю , матиме вигляд

.(6.2.6)

Параметр

є розв’язком рівняння , - густина розподілу Стьюдента,

(6.2.6a)

точність оцінки (6.2.2) за Стьюдентом.

Приклад 6.2.2. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для вибірки об’єму

знайдено вибіркове середнє та “виправлене” середньоквадратичне відхилення .Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання з надійністю .

Розв’язування. Згідно (2.6) довірчий інтервал, який необхідно знайти,

,

Параметр

задовільняє рівнянню . При розв’язок рівняння . Точність оцінки математичного сподівання за Стьюдентом . Отже, довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання з надійністю 0.9

Нехай

, де визначається рівністю . Якщо , то довірчий інтервал

для оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу з надійністю

має вигляд

.(6.2.7a)

Значення q знаходиться як розв’язок рівняння

,(6.2.8a)

де

, .

Якщо

, то довірчий інтервал

,(6.2.7b)

а значення q знаходиться як розв’язок рівняння

.(6.2.8b)

Функція

(6.2.9)

густина розподілу величини “хі”

.(6.2.10)

Приклад 6.2.3. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для вибірки об’єму

знайдено “виправлене” середньоквадратичне відхилення .Знайти довірчий інтервал для оцінки середньоквадратичного відхилення із надійністю .

Розв’язування. При

та розв’язок рівняння (6.2.8a) . Згідно із (2.7a) довірчий інтервал, який шукається у задачі

.

Приклад 6.2.4. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для вибірки об’єму

знайдено “виправлене” середньоквадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал для оцінки середньоквадратичного відхилення із надійністю

Розв’язування. При

та розв’язок рівняння (6.2.8b) . Згідно із (2.7b) довірчий інтервал, який шукається у задачі

.

8.3 Порядок обробки вимірювань

У теорії похибок вибіркове середнє

позначають як ; її точність при відомому - як , де

- середня похибка;(6.3.1)

її точність по Стьюденту

- як .

При обчисленні

та s зручно користуватися формулами

;(6.3.2)

(6.3.3)

де

– довільна стала (умовний нуль), яку вибирають заокругленним числом, близьким до .

Остаточний результат вимірювання прийнято записувати у вигляді

. У класичній теорії похибок це означає, що істинне значення фізичної величини покривається довірчим інтервалом з надійністю ( - функція ймовірності). У статистиці малих вибірок (мікростатистиці) це означає, що істинне значення фізичної величини покривається довірчим інтервалом з надійністю (ймовірністю) - ( значення густини розподілу Стьюдента у точці ). При великій кількості вимірювань ( ) надійності довірчих інтервалів класичної теорії похибок та мікростатистики практично співпадають.

Приклад 6.3.1.Приклад обробки рівноточних вимірювань, результати яких наведені у наступній таблиці:

i
123456789101112	183381831618325183411833218319183131832918310183221833018314	18-452112-1-79-10210-6	324162544114414981100410036
	49	1321