Матрицы и определители (стр. 2 из 9)
j = 1, 2, 3, …, n.).
Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.
Пример. Найти сумму и разность матриц А и В.
= 
, 
= 
,тогда
= + = 
= 
, 
= – = 
= 
.Если же
= 
, 
= 
, то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:
1) коммутативность А+В=В+А;
2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);
3) дистрибутивность к умножению на число λ
R: λ(А+В) = λА+λВ;4) 0+А=А, где 0 – нулевая матрица;
5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;
6) (А+В)
= А + В .Произведение матриц.
Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.
Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если 
, 
, m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а 
, то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.
Произведением двух согласованных матриц и
А=
, В= 
называется матрица С порядка m´k:
= ∙ , элементы которой вычисляются по формуле: 
( 
1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),то есть элемент
i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.Пример. Найти произведение матриц А и В.
= 
, 
= 
, 
∙ 
= 
= 
= 
.Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.
Рассмотрим свойства произведения матриц:
1) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).
Пример 1.
= 
, 
= 
; 
= 
= 
; 
= 
= 
.Очевидно, что
≠ 
.Пример 2.
= 
, = 
; 
= 
= 
= 
; 
= = 
= 
.Вывод:
≠ , хотя матрицы 
и 
одного порядка.2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.
Пример.
= 
, 
= 
; 
= 
= 
= ; 
= 
= 
= .3) A·0 = 0·A = 0.
4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.