3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:
6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:
7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число
так как
Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.
Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьегопорядкаквадратной матрицы называется число
Δ =
=
(2)
т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):
|
Пример. Вычислить определитель
=
=
Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.
2. ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА И АННУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.
Введем понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента
Пример.
Тогда, например,
Алгебраическим дополнением элемента
Например:
Вернемся к формуле (2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:
=