Матрицы и определители (стр. 5 из 9)
3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
= 
или 
= .4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:
=0, 
= 0.6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:
= + 
, 
= + 
.7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число
: 
= + 
= ,так как
=0 по свойству 5.Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.
Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьегопорядкаквадратной матрицы называется число
Δ =
= det A= 
==
+ 
+ 
– – – ,(2)
т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):
 |
Пример. Вычислить определитель
= 
==
==
.Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.
2. ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА И АННУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.
Введем понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента
через 
.Пример.
= .Тогда, например,
= 
, 
= 
.Алгебраическим дополнением элемента
определителя называется его минор , взятый со знаком 
. Алгебраическое дополнение будем обозначать 
, то есть = .Например:
= , 
= 
= = – , 
= 
= = .Вернемся к формуле (2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:
= ( – ) + ( – ) + ( – )==
ּ 
+ ּ 
+ ּ 
=