Матрицы. Дифференциальные уравнения (стр. 2 из 4)
Определение: Матрица называется квадратнойn-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Пример:
- квадратная матрица третьего порядка.Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример:
- диагональная матрица третьего порядка.Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицейn-го порядка, она обозначается буквой E.
Пример:
- единичная матрица второго порядка; 
- единичная матрица третьего порядка.Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.
Операции над матрицами
1. Умножение матрицы на число
Каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пример:
, 0,5 
.2. Сложение матриц
!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы складываются поэлементно.
Пример:
.3. Вычитание матриц
!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы вычитаются поэлементно.
Пример:
.4. Умножение матриц
!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением матрицы
называется такая матрица 
, каждый элемент которой cijравен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.5. Возведение в степень
Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.
.Пример:
, найти А2. 
6. Транспонирование матрицы
Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается
.Пример:
.Обратная матрица
Определение: Матрица
называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е. 
.!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Находим определитель матрицы, т.е.
.2. Находим транспонированную матрицу , т.е.
.3. Находим присоединенную матрицу, т.е
(матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).4. Вычисляем обратную матрицу по формуле
.5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.
Ранг матрицы
Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.
!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).
Элементарными называются следующие преобразования матриц:
1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;
3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;
4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.
Пусть зависимость между двумя переменными xи y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| yi | y1 | y2 | … | yn |
Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными xи y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости yот x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.
Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:
- устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y=ax+b);
- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(xi), найденных по эмпирической формулеy=f(x), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.
(в нашей задаче 
).
В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:
,получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры aиbлинейной зависимости:
.
НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F¢(x)=f(x).
Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
, т.е. 
.Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):
Формула для вычисления дифференциала функции y=f(x):
dy=f¢(x)dx.
Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов:
Н.и. 
, где с – некоторое число,
О.и. 
, где с – некоторое число;
Н.и. 
,
О.и.
.!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям.
Формула замены переменной в неопределенном интеграле:
, где 
- функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Формула замены переменной в определенном интеграле:
, где - функция имеет непрерывную производную на отрезке [a,b].