Матрицы. Дифференциальные уравнения (стр. 3 из 4)
Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
,где u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции переменной х.
При этом
Постоянную С в выражении для v в формуле интегрирования по частям полагают равной 0.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
,где u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [a,b].
Табличные интегралы
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка
.Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое по правилу:
.Определение. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
.Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число, получаемое по правилу:
.Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:
 |  |
– со знаком “+”; – со знаком “–”.
ПРЕДЕЛЫ
Основные понятия и определения
Определение: Функция
называется бесконечно малой величиной (БМВ) при 
или при 
, если ее предел равен нулю: 
.Свойства бесконечно малых величин:
- алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
- произведение БМВ на ограниченную функцию есть БМВ;
- частное от деления БМВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть БМВ.
Определение: Функция
называется бесконечно большой величиной (ББВ) при или при , если ее предел равен бесконечности.!!! Если
- БМВ при или при , то функция 
является ББВ при или при . Верно и обратное утверждение.Свойства бесконечно больших величин:
- сумма ББВ и ограниченной функции, есть ББВ;
- произведение ББВ на функцию, предел которой отличен от 0 есть ББВ;
- частное от деления ББВ на функцию, имеющую предел, есть ББВ.
Основные теоремы о пределах
1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций.
3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.
4. Предел постоянной величины равен этой постоянной.
5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен 0).
6. Если
.Виды неопределенностей
.!!! Основной задачей при вычислении пределов является устранение неопределенностей с помощью алгебраических преобразований.
1) для неопределенности вида
:- Если в числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции и
. Вычисление пределов в случае отношения степенных функций производится путем вынесения за скобку в числителе и знаменателе дроби переменной xв наибольшей степени среди всех слагаемых дроби (неопределенность устраняется после сокращения дроби и применения основных теорем о пределах); в случае показательных функций за скобку выносится наибольшее слагаемое.- Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле, т.е.
.2) для неопределенности вида
:- Если возможно, то числитель и знаменатель разложить на множители. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.
- Числитель и знаменатель дроби домножить на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.
Формулы сокращенного умножения:
(a-b)(a+b)= a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
- Правило Лопиталя.
3) для неопределенности вида [0
]:- Выражение, представляющее собой произведение функций, нужно преобразовать в частное (не меняя смысла). После чего неопределенность преобразуется к виду
или .4) для неопределенности вида [
]:- Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой сумму или разность дробей, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу
после приведения к общему знаменателю.- Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой разность или сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к типу
путем домножения и деления функции на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.5) для неопределенности вида [
]:- Выражение, стоящее под знаком предела представляет собой степенно-показательную функцию (в основании которой необходимо выделить целую часть дроби). Неопределенность устраняется при помощи выделения второго замечательного предела.
Формула второго замечательного предела:
; 
.
ПРОИЗВОДНАЯ
Определение: Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к 0 (если этот предел существует):
Если функции u(x) и v(x) дифференцируемые, то справедливы следующие правила дифференцирования:
(u+v)¢=u¢+v¢
(u-v)¢=u¢-v¢
(uv)¢=u¢v+uv¢